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高等代数第二章多项式教案
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第二章 多项式
教学目的要求 一元多项式在本章中占有突出的重要位置.它对培养、提高
学生的数学素质是非常必要的.应着重掌握以下问题:多项式确实切定义、多项
式的系数和次数、零多项式零次多项式的意义、整除性问题的理论及方法、多项
式与方程的联系与区别、多项式的函数观点、有里数域上多项式的有关问题、实
数域上多项式、多元多项式的定义和运算、对称多项式的定义及根本定理等.
教学内容及学时分配 多项式的定义和运算〔2 学时〕;多项式的整除性〔4
学时〕;最大公因式〔4 学时〕;因式分解定理〔4 学时〕;重因式〔4 学时〕;多
项式函数及多项式的根〔4 学时〕;复数域和实数域上的多项式〔4 学时〕;有理
数域上的多项式〔4 学时〕多元多项式;对称多项式〔2 学时〕;习题课〔2 学时〕.
重点、难点 理解根本概念,掌握一元多项式次数定理,多项式的乘法消去
律;带余除法定理的证明及应用,多项式因式分解的存在唯一性定理,多项式的
可约与数域有关,多项式没有重因式的充分必要条件,余数定理,综合除法,代
数根本定理,C、R、Q 上多项式,多元多项式的字典排列法,初等对称多项式表
示对称多项式.
教学手段 传统教学和多媒体教学相结合.
2.1 一元多项式的定义和运算
教学目的 掌握一元多项式的定义,有关概念和根本运算性质.
重点、难点 一元多项式次数定理,多项式的乘法消去律.
教学过程 讲授练习.
1.多项式的定义
令 R 是一个数环,并且 R 含有数 1,因而 R 含有全体整数.在这一章里,但凡说到数环,都作这样的约定,不再每次重复
先讨论R上一元多项式
定义 1 数环 R 上一个文字 x 的多项式或一元多项式指的是形式表达式
, 〔1〕
这里 n 是非负整数而 都是 R 中的数.
在多项式(1)中, 叫做零次项或常数项, 叫做一次项,一般, 叫做 i 次
项, 叫做 i 次项的系数.
一元多项式常用符号 f(x),g(x),?来表示.
2. 相等多项式:
定义 2 假设是数环 R 上两个一元多项式 f(x)和 g(x)有完全一样的项,或者只
差一些系数为零的项,那么 f(x)和 g(x)说是相等;
f (x)=g(x)
非负整数 n 叫做多项式 ,( )的次数.
系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式.按照定义2,零多项式
总可以记为 0.以后谈到多项式 f(x)的次数时,总假定 f(x)?0.
多项式的次数有时就简单地记作.
3. 多项式的运算:
是数环 R 上两个多项式,并且设 m?n,多项式 f(x)与 g(x)的和 f(x)+g(x)指的是
多项式
这里当 m<n 时,取
多项式 f(x)与 g(x)的积 f(x)g(x)指的是多项式
这里
我们定义 f(x)和 g(x)的差
f(x)-g(x)= f(x)+(-g(x))
多项式加法和乘法的运算规那么
① 加法交换律: f(x)+g(x)= g(x) + f(x);
② 加法结合律: (f(x)+g(x))+h(x)= f(x)+(g(x)+h(x)) ;
③ 乘法交换律: f(x)g(x)=g(x)f(x);
④ 乘法结合律: (f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x));
⑤ 乘法对加法的分配律: f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)
有时候把一个多项式按"降幂"书写是方便的,这时将多项式写成
⑵
当时,叫做多项式⑵的首项
5. 多项式的运算性质
定理 设 f(x)和 g(x)是数环 R 上两个多项式,并且 f(x)?0, g(x)?0.
那么
a) 当 f(x)+g(x)?0 时,
b)??????????????????
证: 设
,
,
并且.那么
, ⑶
, ⑷
由〔3〕,f(x
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