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若 n 维 随 机 变 量 ( , 1 )
X X k k n 的 联 合 概 率 密 度 函 数 为 f X (x) ，
n
x (x ,1 k n) ， 如 何 求 X 经 变 换 （记 为 L ） 后 的 n 维 随 机 变 量
k
Y (Y g (X ),1 k n) 的分布或联合概率密度函数 .
k k
def
设变换 L ： ( ( ),1 ) ( ( )) n ， n ，
y yk g k x k n g x x
def
g( x ) (g ( x),1 k n) ，对应的逆变换 L ' ： x ( x h (y),1 k n) (h( y)) n ，
k k k
n
y ， h( y) (h ( y),1 k n) ，其中 g ， h 是 n 元（博雷尔可测）函数 .
k k k
记 X 和 Y 的取值范围为 G { x : f X (x ) 0, x n} ，
xi
G ' { y : y g( x), x G} . J det 为变换的雅可比（ Jacobi）行列式 .
yi n n
命题 若上述变换 L 满足：
g h
（1）变换 L ： G G ' 存在唯一的逆变换 L ' ： G ' G ；
（2 ） g ， h 有连续偏导数（分别在 G 和 G ' 上）；
k k
（3）在 G 中， J 0 （几乎处处） .
def
则 n 维随机变量向量 ( ( ),1 ) ( ( ))
Y
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