根的分布与二次函数最值(经典).doc

PAGE PAGE 1 一元二次方程根的分布与二次函数最值 【知识梳理】 一、一元二次方程根的分布定理： 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论 （不讨论） 表二：（两根与的大小比较） 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 表三：（根在区间上的分布） 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内 （图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另一根在内， 大致图象（） 得出的结论 或 大致图象（） 得出的结论 或 综合结论（不讨论） 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间外，即在区间两侧，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）时，； （2）时， 所以得出的结论： 。 二、二次函数最值的讨论： 讨论二次函数在指定区间上的最值问题： ①注意对称轴与区间的相对位置； ②函数在区间上的单调性. 2．讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑： ①判别式； ②区间端点的函数值的符号； ③对称轴与区间的相对位置． 3.求二次函数最值的类型及解法 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种 类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论； (2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得． 4.二次函数单调性问题的解法：结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解. 【经典例题】 例1、已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围。 例2、已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围。 例3、已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围。 例4.已知关于x的二次方程x2+2mx+2m 若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围. 若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 例5. 类型 = 1 \* ALPHABETIC A（轴定区间定）当时，求函数的最大值和最小值． 例6. 类型 = 2 \* ALPHABETIC B（轴定区间动）当时，求函数的最小值(其中为常数)． 例7.类型 = 3 \* ALPHABETIC C（轴动区间定）求在区间上的最大值和最小值。 【经典习题】 1、关于的一元二次方程，当为何实数时： 不同两根在之间 有一个根大于2，另一个根小于2 在内有且只有一解 2、已知是实数，函数如果在区间上有零点，求 的取值范围 3、已知关于的函数在上． (1) 当时，求函数的最大值和最小值； (2) 当为实数时，求函数的最大值． 4、已知二次函数 （为常数，且）满足条件：，且方程有等根. 求的解析式； 是否存在实数、（），使的定义域和值域分别是和.如果存在，求出、的值；如果不存在，请说明理由.