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基本初等函数讲义(全) 基本初等函数讲义(全) PAGE 基本初等函数讲义(全) 一、一次函数 一次 函数 ， 符号 图象 性质 随的增大而增大 随的增大而减小 二、二次函数 （1）二次函数解析式的三种形式 ①一般式： ②顶点式： ③两根式： （2）求二次函数解析式的方法 ①已知三个点坐标时，宜用一般式． ②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式． ③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便． （3）二次函数图象的性质 图像 定义域 对称轴 顶点坐标 值域 单调区间 递减 递增 递增 递减 ①.二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是 ②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，． 三、幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数． （2）幂函数的图象 过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． 四、指数函数 （1）根式的概念 如果，且，那么叫做的次方根． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义． （3）运算性质 ① ② ③ （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 0101函数且叫做指数函数 0 1 0 1 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 五、对数函数 （1）对数的定义 ①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做 底数，叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：． （2）几个重要的对数恒等式 ，，． （3）常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）． （4）对数的运算性质 如果，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： （5）对数函数 函数 名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图象 0 0 1 0 0 1 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高． (6)反函数的概念 设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成． （7）反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出； ③将改写成，并注明反函数的定义域． （8）反函数的性质 ①原函数与反函数的图象关于直线对称． ②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域． ③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上． ④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数． 例题 一、求二次函数的解析式 例1. 抛物线的顶点坐标是（ ） A．（2，0） B．（2，-2） C．（2，-8） D．（-2，-8） 例2．已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（1，10），则这条抛物线的表达式为（ ） A． B． C. D. 例3.抛物线y=的顶点在第三象限，试确定m的取值范围是（ ） A．m＜－1或m＞2 B．m＜0或m＞－1 C．－1＜m＜0 D．m＜－1 例4.已知二次函数同时满足条件： （1）； （2）的最大值为15； （3）的两根立方和等于17 求的解析式 二、二次函数在特定区间上的最值问题 例5. 当时，求函数的最大值和最小值． 例6．当时，求函数的取值范围． 例7．当时，求函数的最小值(其中为常数)． 三、幂函数 例8.下列函数在上为减函数的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 例9.下列幂函数中定义域为的是（ ） Ａ．　　　Ｂ．　　Ｃ．　　　Ｄ． 例10. 讨论函数y＝的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图． 例10．已知函数y＝． 　　（1）求函数的定义域、值域； 　　（2）判断函数的奇偶性； 　　（3）求函数的单调区间． 四、指数函数的运算 例11. 计算的结果是（ ） A、 B、 C、— D、— 例12.等于（ ） A、 B、 C、 D、 例13. 若，则＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 五、指