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任意拉格朗日—欧拉法 任意拉格朗日—欧拉法 第14卷第1期 计算力学学报 Vol.14No.1任意拉格朗日2欧拉描述法研究进展 张 雄 陆明万 王建军 (清华大学工程力学系,北京,100084)Ξ 摘 要 任意拉格朗日2欧拉(ALE)描述综合了纯拉格朗日和纯欧拉描述的优点,克服了各 自的缺点,成为非线性连续介质力学中大变形分析的非常有效的方法。本文论述了ALE法 的研究进展及其在流体动力学、流体2结构相互作用、加工成型、碰撞、接触等大变形问题中的 应用。 关键词 非线性连续介质力学;任意拉格朗日2欧拉描述;非线性有限元 分类号 O33;O35;O242121 1 引 言 非线性连续介质力学的有限元分析方法已取得了很多令人瞩目的进展,其中在大变形问题中绝大多数研究工作都采用拉格朗日(主要用在固体力学中)或欧拉(主要用在流体力学中)描述方法。 在拉格朗日描述(即物质描述或L描述)中,计算网格固定在物体上——————————————————————————————————————————————— 随物体一起运动,即网格点与物质点在物体的变形过程中始终保持重合,因此物质点与网格点之间不存在相对运动(即迁移运动,也称对流运动)。这大大地简化了控制方程的求解过程,而且能准确描述物体的移动界面,并可跟踪质点的运动轨迹。但在涉及到特大变形的问题中,物质的扭曲将导致计算网格的畸形而使得计算失败。 在欧拉描述(即空间描述或E描述)中,网格固定在空间中,即计算网格在物体的变形过程中保持不变,因此可很容易处理物质的扭曲。但对运动界面需要引入非常复杂的数学映射,将可能导致较大的误差。另外当使用普通的伽辽金离散时,由于迁移项的影响,有限元方程中的系数矩阵是非对称的,而且还可能得到振荡解。 纯拉格朗日和纯欧拉描述都存在严重的缺陷,但也具有各自的优势。如果能将二者有机地结合,充分吸收各自的优势,克服各自的缺点,则可解决一大批只用纯拉格朗日和纯欧拉描述所解决不了的问题。任意拉格朗日2欧拉(ALE)方法就是基于此目的最早由Noh(1964)[1]以耦合欧拉2拉格朗日的术语提出的,并用有限差分法求解带有移动边界的二维流体动力学问题。在Noh的研究工作中,网格点可以随物质点一起运动,但也可以在空间中固定不动,甚至网格点可以在一个方向上固定,而在另一个方向上随物体一起运动,因此ALE描述也被称为耦合欧拉2拉格朗日描述。例如在液体表面波的传播问题中,网格点在垂向随物质点一起运动,而在Ξ核工业科学基金资助。 本文于1996年5月27日收到。 ? 1995-2004 Tsinghua Tongfang Optical Disc Co., Ltd. All rights ——————————————————————————————————————————————— reserved. 水平方向上固定不动。这样可很容易描述液体表面的运动,而且网格不会发生扭曲。 在ALE描述中计算网格可以在空间中以任意的形式运动,即可以独立于物质坐标系和空间坐标系运动。这样通过规定合适的网格运动形式可以准确地描述物体的移动界面,并维持单元的合理形状。类似于E描述,在ALE描述下的控制方程中也将出现对流项,因此也可能得到振荡解,需要进行相应的数值处理。纯拉格朗日和纯欧拉描述实际上是ALE描述的两个特例,即当网格的运动速度等于物体的运动速度时就退化为拉格朗日描述,而当网格固定于空间不动时就退化为欧拉描述。 [128]ALE最早是为了解决流体动力学问题而引入的,并且使用有限差分法。由于核反应堆 [13,14]结构安全分析的需要,Donea[12]、等人分别将ALE法引入有限元法中,用以求Belytschko [9]解流体与结构相互作用问题[12230]。Hughes等人建立了ALE描述的运动学理论,并使用有限 元法解决了粘性不可压缩流体流动和自由表面流动问题。 ALE描述中,参考构形是已知的,而初始构形和现时构形都是待求解的。因此ALE法尤其适合于在初始构形和现时构形都未知的问题中使用,如接触问题等。 目前,ALE法已被应用于固体力学领域中求解大变形问题,如碰撞——————————————————————————————————————————————— [36][55]、接触和弹性断裂力学[31,34]、路径相关材料(如弹塑性材料等)[35,39]、加工成型[40,47]等。另外对网格的运动以及控制方程的求解策略等问题也进行了多方面的研究[53,58]。 本文论述了ALE法的基本理论和研究进展及其在流体动力学、流体2结构相互作用、加工成型、碰撞、接触等大变形问题中的应用。 2 ALE运动学描述 将连续体在初始时刻t0的构形(称初始构