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2008年秋季 点集拓扑 答案(A卷) 、单项选择题：(每题4分，共20分)CADDA 1.F列集合不构成实数集上某个拓扑的基的是A.(a,b) |a,bB.(C )[a,b)|a,b 厲 1. F列集合不构成实数集上某个拓扑的基的是 A. (a,b) |a,b B. (C ) [a,b)|a,b 厲a b C. (a,0) |a * D. (a, )|a B. B. f (A) f (B) f(A B) D. f (X A) Y f(A) (D ) B.局部连通 D. L in del ?ff (D ) B.可分 D.正规 A ) B.如果A连通，则A连通 D.如果A连通，则A连通 Y的说法正确的是 (A )2.对X的任意子集 A和B Y的说法正确的是 (A ) A. f (A) f(B) f (A B) C. f(A) f (B) f (A B) 下列拓扑性质为闭子空间可遗传的是 A.连通 C.可分 不是每个第二可数空间都满足的性质是 A.第一可数 C. L in del ?ff 下列关于连通性的说法正确的是 ( A.如果A连通，则A连通 C.如果A连通，则A连通 二、基本概念：(每题10分，共20分) 1.设 X a,b,c,d , t , a , b , a,b , a,c , a,b,c ,X 。考虑 A a 以及 B a, b,d。分别求出瓦(A)和B. 解：首先求出所有的闭集 ,b,c,d , a,c,d , c,d , b,d , d ,X。显然， A a, c, d ; 因为 A b,c,d ，所以(A) A A c,d ; (3) B” a,b。 2.设A是可数补空间 X中的一个子集。求 A的导集和闭包。 解：如果 A为X中可数子集，则 x X均有U X A {x}为x的一个开邻域，并 且U A {x} ，所以x d(A)，也就是说此时d(A) ，A A。 如果A为 如果A为X中不可数子集，则 x X，其任何一个邻域 V的补集V均可数，从而 V A {x} ，所以x d(A)，也就是说此时d(A) X，A X 。 三、连通性：(前2题每题8分，最后1题4分，共20分) 1.证明：有理数空间作为实数空间的子空间是不连通的。 证明：令A ( , ) Q, B , !龙。显然A,B为 中两个非空开集, 并且满足A B场和A B ，所以不连通。 2.设代B 2.设代B为某拓扑空间X中开集，A B和A B连通。证明: A和B均连通。 证明：如果 A是不连通的，则存在 U,V为一对非空无交开集使得 A U V。注意此时 A B U或A B V。不妨设A B U，则V和U B为一对非空无交开集，并 且V (U B) A B。这与A B连通矛盾，所以 A连通。类似可证 B也连通。 3.举例说明一个连通空间未必是一个道路连通空间。 解：考虑 I2的子空间。令 S x,sin1 x 0 ，T 0, y 1 y 1。由于S连 a x 通，所以S S T连通，但是S上任一点和T上任一点之间不存在道路，从而 S不是道 路连通的。 四、可数性公理：(每题10分，共20 分) 1?证明实数下限拓扑空间是第一可数的，可分的，但不是第二可数的。 证明：Rf有一个基为 ［a,b) a,b R,a b。 (1) 对任意x ￡，显然［x,x 1/n)n》 为x的一个可数邻域基，所以 ￡是第 一可数的； ，所以 在￡中可数稠密，从(2) 因为a,b ￡，如果a b，则［a,b)包 ，所以 在￡中可数稠密，从 而去可分； (3) 设B为的一个基，则对任何 x卡，存在Bx B使得x Bx [x,x 1)。因 为x inf Bx，所以当x y时有Bx By，因此B不可数，从而g不是第二可 数空间。 2?设X是一个第二可数空间，B是X的一个拓扑基。证明：存在可数 C B使得C依 然是X的一个拓扑基。 证明：设D是X的一个可数基。由于B是X的一个基，所以对任意 D D，存在B D B 使得D B D。注意，每个第二可数空间都是 Lindel?ff空间，并且第二可数性是可遗传 的，所以可以假设 B D是可数的。令 C为所有这样的B D的并(D D),则显然C可数。 由于D是X的一个基，所以 C是X的一个可数基，且 C B。 五、分离性公理：(每题10分，共20分) 1 ?证明：一个拓扑空间 X是Hausdorff空间当且仅当 X中每个单点集 x等于所有包含 x的开集的闭包之交。 证明： 设X是Hausdorff空间，x X。 记A A x A, A是开集。显然，x a a A，即x a ax A。 y X,如果x y，则存在开集U,V使得x U,y V且U V 。由于U V , 所以U V，从而y U。这证明x AAx入。 设x, y X且x y，则x y