人教B版数学必修第一册新教材同步讲义：第2章 2.2.1 第1课时　不等关系与不等式含答案.docVIP

2.2　不等式 2.2.1　不等式及其性质 第1课时　不等关系与不等式 学 习 目 标 核 心 素 养 1.会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系．(难点) 2．会用比较法比较两实数的大小．(重点) 1. 借助实际问题表示不等式，提升数学建模素养． 2. 通过大小比较，培养逻辑推理素养. 1．不等关系 不等关系常用不等式来表示． 2．实数a，b的大小比较 文字语言 数学语言 等价条件 a－b是正数 a－b＞0 a＞b a－b等于零 a－b＝0 a＝b a－b是负数 a－b＜0 a＜b 3.重要不等式 一般地，?a，b∈R，有(a－b)2≥0，当且仅当a＝b时，等号成立． 1．大桥桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是指示司机要安全通过该桥，应使车货总重量T不超过40吨，用不等式表示为(　　) A．T<40　　　　　　　 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40 C　[限重就是不超过，可以直接建立不等式T≤40.] 2．某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120 km/h，同一车道上的车间距d不得小于10 m，用不等式表示为(　　) A．v≤120 km/h且d≥10 m B．v≤120 km/h或d≥10 m C．v≤120 km/h D．d≥10 m A　[v的最大值为120 km/h，即v≤120 km/h，车间距d不得小于10 m，即d≥10 m，故选A.] 3．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________． 4．5t<28 000　[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28 000.] 4．设M＝a2，N＝－a－1，则M，N的大小关系为________． M＞N　[M－N＝a2＋a＋1 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)＞0，∴M＞N.] 用不等式(组)表示不等关系 【例1】　京沪线上，复兴号列车跑出了350 km/h的速度，这个速度的2倍再加上100 km/h，不超过民航飞机的最低时速，可这个速度已经超过了普通客车的3倍，请你用不等式表示三种交通工具的速度关系． [解]　设复兴号列车速度为v1， 民航飞机速度为v2， 普通客车速度为v3. v1，v2的关系：2v1＋100≤v2， v1，v3的关系：v1＞3v3. 在用不等式?组?表示不等关系时，要进行比较的各量必须具有相同性质，没有可比性的两个?或几个?量之间不可用不等式?组?来表示.另外，在用不等式?组?表示实际问题时，一定要注意单位的统一. 1．用一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18 m，要求菜园的面积不小于216 m2，靠墙的一边长为x m．试用不等式(组)表示其中的不等关系． [解]　由于矩形菜园靠墙的一边长为x m，而墙长为18 m，所以0<x≤18， 这时菜园的另一条边长为eq \f(30－x,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))(m)． 因此菜园面积S＝x·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))， 依题意有S≥216，即xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216， 故该题中的不等关系可用不等式组表示为 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(0<x≤18，,x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15－\f(x,2)))≥216.)) 比较两数(式)的大小 【例2】　已知x≤1，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)． ∵x≤1，∴x－1≤0，而3x2＋1＞0， ∴(3x2＋1)(x－1)≤0，∴3x3≤3x2－x＋1. 把本例中“x≤1”改为“x∈R”，再比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． ∵3x2＋1＞0， 当x＞1时，x－1＞0，∴3x3＞3x2－x＋1； 当x＝1时，x－1＝0，∴3x3＝3x2－x＋1； 当x＜1时，x－1＜0，∴3x3＜3x2－x＋1. 作差法比较两个实数大小的基本步骤 2．比较2x2＋5x＋3与x2＋4x＋2的大小． [解]　(2x2＋5x＋3)－(x2＋4x＋2)＝x2＋x＋1 ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq \f(3,4). ∵eq \b\l