人教B版数学必修第一册新教材同步讲义：第2章 2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系含答案.docVIP

2.1.2　一元二次方程的解集及其根与系数的关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解一元二次方程的定义，并会求一元二次方程的解集．(重点) 2．掌握一元二次方程的根的判别式，并会用其判断根的个数．(重点) 3．掌握一元二次方程的根与系数的关系，并会用其求一些关于方程两根的代数式的值．(重点、难点) 1.通过对一元二次方程的解集及根与系数的关系的学习，培养数学抽象、逻辑推理的数学素养． 2．通过求一元二次方程的解集，提升数学运算素养. 1．一元二次方程的定义 形如ax2＋bx＋c＝0的方程为一元二次方程，其中a，b，c是常数，且a≠0. 2．一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法． (2)配方法：通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式，若右边是一个非负常数，则可以运用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫做配方法． (3)公式法：将一元二次方程中的系数a，b, c的值代入式子x＝eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a)中，就求得方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 3．一元二次方程根的判别式 式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.当Δ＞0 时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根． 4．一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根是x1，x2，那么x1＋x2＝－eq \f(b,a)，x1·x2＝eq \f(c,a)，即两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比． 1．一元二次方程x2－16＝0的解集是(　　) A．{－8,8}　　　　　　 B．{－4} C．{4} D．{－4,4} D　[利用直接开平方法解方程，即x2－16＝0，∴x2＝16，解得x1＝4，x2＝－4，故选D.] 2．用配方法解方程x2－8x＋5＝0，将其化为(x＋a)2＝b的形式，正确的是(　　) A．(x＋4)2＝11 B．(x＋4)2＝21 C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11 D　[x2－8x＋5＝0，x2－8x＝－5，x2－8x＋16＝－5＋16，(x－4)2＝11，故选D.] 3．用公式法解方程6x－8＝5x2时，a，b，c的值分别是(　　) A．5、6、－8 B．5、－6、－8 C．5、－6、8 D．6、5、－8 C　[原方程可化为5x2－6x＋8＝0，∴a＝5, b＝－6，c＝8，故选C.] 4．已知一元二次方程2x2＋2x－1＝0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，下列结论正确的是(　　) A．x1＋x2＝1 B．x1·x2＝－1 C．|x1|＜|x2| D．xeq \o\al(2,1)＋x1＝eq \f(1,2) D　[根据题意，得x1＋x2＝－eq \f(2,2)＝－1，x1x2＝－eq \f(1,2)，所以A，B选项错误．∵x1＋x2＜0，x1x2＜0，∴x1，x2异号，且负数的绝对值大，所以C选项错误．∵x1为一元二次方程2x2＋2x－1＝0的根，∴2xeq \o\al(2,1)＋2x1－1＝0，∴xeq \o\al(2,1)＋x1＝eq \f(1,2)，D选项正确．故选D.] 一元二次方程的解法 角度一　直接开平方法 【例1】　用直接开平方法求下列一元二次方程的解集： (1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x. [思路点拨]　可将方程转化为x2＝p(p≥0)的形式．再两边开平方进行降次，化为一元一次方程． [解]　(1)移项，得4y2＝25. 两边都除以4，得y2＝eq \f(25,4). 解得y1＝eq \f(5,2)，y2＝－eq \f(5,2). 所以原一元二次方程的解集是eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(5,2))). (2)移项，合并同类项，得3x2＝15. 两边都除以3，得x2＝5. 解得x1＝eq \r(5)，x2＝－eq \r(5). 所以原一元二次方程的解集是{eq \r(5)，－eq \r(5)}． 应用直接开平方法求一元二次方程解集的主要步骤 ?1?化为x2＝p?p≥0?的形式；?2?直接开平方；?3?解两个一元一次方程，写出方程的两个根；?4?总结写成解集的形式. 1．用直接开平方法求下列一元二次方程的解集． (1)(x＋1)2＝12； (2)(6x－1)2－25＝0. [解]　(1)直