人教B版数学必修第一册新教材同步讲义：第2章 2.1.1　等式的性质与方程的解集含答案.docVIP

2.1　等式 2.1.1　等式的性质与方程的解集 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解且会运用等式的性质．(重点) 2．理解恒等式的概念，会进行恒等变形．(难点) 3．会求方程的解集．(重点) 1.借助等式的性质，培养逻辑推理的素养． 2．通过求方程的解集，提升数据分析、数学运算的核心素养. 1．等式的性质 性质：(1)：等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或代数式)，等式仍成立． 用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a±c＝b±c. 性质(2)：等式的两边同时乘以(或除以)同一个数(或代数式)(除数或代数式不为0)，等式仍成立． 用字母表示为：如果a＝b，则对任意的c，都有a×c＝b×c，a÷c＝b÷c(c≠0)． 2．恒等式 (1)一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．恒等式是进行代数变形的依据之一． (2)一个经常会用到的恒等式：对任意的x，a，b，都有(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab. (3)用“十字相乘法”分解因式：①直接利用公式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)进行分解； ②利用公式acx2＋(ad＋bc)x＋bd＝(ax＋b)(cx＋d)进行分解． 3．方程的解(或根)是指能使方程左右两边相等的未知数的值．求方程解的过程叫做解方程．把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 1．下列运用等式性质进行的变形，正确的是(　　) A．如果a＝b，那么a＋c＝b－c B．如果a2＝3a，那么a＝3 C．如果a＝b，那么eq \f(a,c)＝eq \f(b,c) D．如果eq \f(a,c)＝eq \f(b,c)，那么a＝b D　[A.当a＝b时，a＋c＝b＋c，故A错误；B.当a＝0时，此时a≠3，故B错误；C.当c＝0时，此时eq \f(a,c)与eq \f(b,c)无意义，故C错误；故选D.] 2．下列算式：(1)3a＋2b＝5ab；(2)5y2－2y2＝3；(3)7a＋a＝7a2；(4)4x2y－2xy2＝2xy中正确的有(　　) A．0个　　　B．1个　　　C．2个　　　D．3个 A　[(1)(4)不是同类项，不能合并；(2)5y2－2y2＝3y2；(3)7a＋a＝8a.所以4个算式都错误．故选A.] 3．已知A＝x3＋6x－9，B＝－x3－2x2＋4x－6，则2A－3B等于(　　) A．－x3＋6x2 B．5x3＋6x2 C．x3－6x D．－5x3＋6x2 B　[依题意，可得2A－3B＝2(x3＋6x－9)－3(－x3－2x2＋4x－6)＝5x3＋6x2，故选B.] 4．x2－4的因式分解的结果是(　　) A．(x－2)2 B．(x－2)(x＋2) C．(x＋2)2 D．(x－4)(x＋4) B　[x2－4＝(x＋2)(x－2)．故选B.] 等式性质的应用 【例1】　已知x＝y, 则下列各式：①x－3＝y－3；②4x＝6y；③－2x＝－2y；④eq \f(x,y)＝1；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)；⑥eq \f(x,a)＝eq \f(y,a).其中正确的有(　　) A．①②③　　　　　　 B．④⑤⑥ C．①③⑤ D．②④⑥ C　[①x－3＝y－3；③－2x＝－2y；⑤eq \f(x－2,3)＝eq \f(y－2,3)正确，故选C.] 在等式变形中运用等式的性质时要注意，必须保证等式两边同乘以或除以的同一个数是不为零的数，此外，还要注意等式本身隐含的条件. 1．设x，y，c是实数，下列正确的是(　　) A．若x＝y，则x＋c＝y－c B．若x＝y，则xc＝yc C．若x＝y，则eq \f(x,c)＝eq \f(y,c) D．若eq \f(x,2c)＝eq \f(y,3c)，则2x＝3y B　[A.两边加不同的数，故A不符合题意； B．两边都乘以c，故B符合题意； C．c＝0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D．两边乘6c，得到3x＝2y，故D不符合题意．故选B.] 恒等式的化简 【例2】　化简： (1)(3a－2)－3(a－5)； (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2； (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)； (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]． [解]　(1)(3a－2)－3(a－5)＝3a－2－3a＋15＝13. (2)－3x2y＋2x2y＋3xy2－2xy2＝－x2y＋xy2. (3)2m＋(m＋n)－2(m＋n)＝2m＋m＋n－2m－2n＝m－n. (4)(4a2b－5ab2)＋[－2(3a2b－4ab2)]＝4a2b－5ab2＋(－6a2b＋8ab2)＝4a2b－5ab2－6a2b＋8ab2＝－2a2b＋3a