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《二次函数与一元二次方程、不等式习题课》
教学设计
教学目标
教学目标
1.熟练掌握一元二次不等式的解法;
2.理解二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系;
3.通过二次函数的图象研究对应不等式解集的方法,提高学生分析问题,解决问题的能力;提升学生数学运算,数据分析的核心素养.
教
教 SHAPE 学重难点
教学重点:一元二次不等式的解及应用.
教学难点:一元二次方程、一元二次不等式和二次函数三者之间的关系.
课前准备
课前准备
PPT课件.
教学过程
教学过程
复习回顾
问题1:二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系是怎样的?请你默写.
师生活动:学生默写,之后互批答.案略.
设计意图:通过默写复习基本知识,师生掌握学情,为后续学习扫清障碍。
典例分析
1.一元二次不等式的解法
例1 求不等式的解集.
问题1:这个不等式和一元二次不等式有什么关系?如何求解?
师生活动:师生一起分析,将(x-2)(x-3)>0展开后,是一元二次不等式,画出二次函数的图象,结合图象得不等式的解集.
追问1:你能总结或,其中a<b的解集吗?
师生活动:学生自己总结反思,写出结论.
追问2:若一元二次不等式的解集为,你能否猜出这个不等式吗?这个不等式唯一吗?
师生活动:学生独立完成,之后互相讨论,教师引导学生画出二次函数的简图,在构造不等式时,注意二次项的正负,并总结构造的不等式可以为或.
2.含参数的一元二次不等式的解法
★资源名称:【知识点解析】含参一元二次不等式的解法
★使用说明:本资源为含参一元二次不等式的解法,通过对含参一元二次不等式求解时的一些不确定现象的研究,得出分类讨论的必要性和思路,引导学生以变化的眼光看待数学知识,并体验数学过程的严密性.
注:此图片为微课截图,如需使用资源,请于资源库调用.
例2 求不等式的解集.
问题2:该不等式与不等式有什么不同?这个不同点将使得该不等式的求解发生怎样的变化?
师生活动:学生关注到a与3的大小关系不能确定,教师引导学生要分类讨论求解,分类的标准就是a与3的大小关系,因此可以分三类.
预设答案:
解:当时,不等式解集为.
当时,不等式解集为.
当时,不等式解集为.
变式1:求不等式的解集.
追问:该不等式与例2中的不等式有何异同?又该如何分类求解?
师生活动:学生求得一元二次方程的两个实根,然后根据的大小关系,分三类求解.
预设答案:
解:当,即时,不等式解集为.
当,即时,不等式解集为.
当,即时,不等式解集为.
追问2:当时,变式1的解集又如何求解?
师生活动:学生思考对参数进行讨论,教师帮助梳理清楚分类标准:首先,该不等式是否为二次的,因此分为a=0和a≠0两类.第二,依据该不等式对应的二次函数图象开口方向不同,分为a>0和a<0两类。第三,当a>0时,根据方程的两个根的大小关系又可以分为三类.
预设答案:
解:当时,不等式可化为,解得.
当时,方程的根为.
若,则,不等式解为.
若a>0,则
当,即时,不等式解为.
当,即时,不等式解为 .
当,即时,不等式解为.
综上所述:当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为;
当时,不等式解集为.
变式2:①不等式如何求解?②不等式呢?
师生活动:学生自主思考,教师引导学生观察式子特点和例题的差异,对式子进行变形求解,要求学生紧紧围绕二次函数的特点寻找解题思路.师生一起总结:转化为,和例2相同;对应的一元二次方程的解无法确定,为此需要对的取值情况讨论,分三类进行.
预设答案:
解:①转化为,之后与例2相同,略.
②对于,,所以当,即≤0时,不等式的解集为.
当或,即>0时,不等式的解集为.
设计意图:通过问题串引导学生根据函数图象得到相应的一元二不等式的解集.学会对于含参的一元二次不等式的分类讨论,理清分类标准的依据,进一步认识一元二次函数,不等式和方程关系的整体性,体会数形结合思想,提高分析问题和解决问题的能力.
3.含参数的一元二次不等式求参数范围
★资源名称:【知识点解析】一元二次不等式中的其他问题(恒成立问题)
★使用说明:本资源为一元二次不等式中恒成立问题的讲解视频,通过讲解主要分析了恒成立问题通过数形结合的转化思路,帮助学生在基于对三个“二次”关系理解的基础上,达到对二次类问题综合考虑和灵活转化的目标.
注:此图片为微课截图,如需使用资源,请于资源库调用.
例3 若不等式对一切恒成立,则的取值范围是_____.
师生活动:教师指导学生借助一元二次函数图象完成.同时强调本题不等式没有说明是二次不等式,因此需要分类讨论.
预设答案:
解:当时,恒成立,因此适合;
当时,要使不等式对一切恒成立,则,解得.
综上可知:的取值范围是[0,1].
追问:若不等式解集为空集时,的取值范围是什么?
师生活动
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