教案(直接证明与间接证明).docx

1．直接证明 (1)综合法 定义：从已知条件出发，以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明 的结论为止，这种证明方法常称为综合法． 框图表示： 已知条件 ?…?…? 结论 思维过程：由因导果． (2)分析法 定义：从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件 和已知条件或已知事实吻合为止．这种证明方法常称为分析法． 框图表示： 结论 ?…?…? 已知条件 思维过程：执果索因． 2．间接证明 反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后 得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． 反证法的步骤： 反设——假设命题的结论不成立，即假定原结论的反面为真； 归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果； 存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立． 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) 222222222 2442 222 2222 22 222 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．( ×  ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”．( ×  ) 反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．( × ) 在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过 程．( √  ) (6)证明不等式 2＋ 7 3＋ 6最合适的方法是分析法．( √ ) 1．已知点 A (n，a )为函数 y＝ x ＋1图象上的点，B (n，b )为函数 y＝x 图象上的点，其中 n n n n n∈N * ，设 c ＝a －b ，则 c 与 c 的大小关系为_________． n n n n n＋1 答案 c c n＋1 n 解析 由条件得 c ＝a －b ＝ n n n  n ＋1－n＝  1 ， n ＋1＋n 则 c 随 n 的增大而减小，∴c c . n n＋1 n 2．用反证法证明：若整系数一元二次方程 ax ＋bx＋c＝0 (a≠0)有有理数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是________． 假设 a，b，c 都是偶数； 假设 a，b，c 都不是偶数； 假设 a，b，c 至多有一个偶数； 假设 a，b，c 至多有两个偶数． 答案 ② 解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故②正确． 3．要证 a  ＋b  －1－a  b ≤0 只要证明________(填正确的序号)． ①2ab－1－a b ≤0； a ＋b ②a ＋b －1－ ≤0； 2 ③  ?a＋b? 2  －1－a b ≤0； ④(a －1)(b －1)≥0. 答案 ④ 解析 a ＋b －1－a b ≤0 (a －1)(b －1)≥0. 4．如果 a a＋b ba b＋b a，则 a、b 应满足的条件是__________________． 22232 2 22 22 222 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 答案 a≥0，b≥0 且 a≠b 解析 ∵a a＋b b－(a b＋b a) ＝ a(a－b)＋ b(b－a) ＝( a－ b)(a－b) ＝( a－ b) ( a＋ b)． ∴当 a≥0，b≥0 且 a≠b 时，( a－ b) ( a＋ b)0. ∴a a＋b ba b＋b a成立的条件是 a≥0，b≥0 且 a≠b. 5．(教材改编)在△ABC 中，三个内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 A，B，C 成等差 数列，a，b，c 成等比数列，则△ABC 的形状为________三角形． 答案 等边 解析 由题意 2B＝A＋C， π 又 A＋B＋C＝π，∴B＝ ，又 b ＝ac， 由余弦定理得 b ＝a ＋c －2accos B＝a ＋c －ac， ∴a ＋c －2ac＝0，即(a－c) ＝0，∴a＝c， π ∴A＝C，∴A＝B＝C＝ ， 3 ∴△ABC 为等边三角形. 题型一  综合法的应用 例 1 对于定义域为[0,1]的函数 f(x)，如果同时满足： 对任意的 x∈[0,1]，总有 f(x)≥0； f(1)＝1； 若 x ≥0，x ≥0，x ＋x ≤1，都有 f(x ＋x )≥f(x )＋f(x )成立，则称函数 f(x)为理想函数． 1 2 1 2 1 2 1 2 若函数 f(x)为理想函数，证明：f(0)＝0； 试判断函数 f(x)＝2x(x∈[0,1])，f(x)＝x (x∈[0,1])，f(x)＝ x(x∈[