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1.6.2 随机变量函数的期望值 例 求 的数学期望（连续型） 解： 根据边缘概率的定义，有 1.6.2 随机变量函数的期望值 所以，上式变成 可见，加权和的期望值等于加权期望的和。这对n维随机变量的情况也是适用的。 这说明： 1、求数学期望是线性运算； 2、这里没有规定随机变量之间非要互独立不可，所以加权和的期望等于期望的加权和，它不受两个随机变量是否相互独立的限制。 1.6.4 随机变量的各阶矩 一、k阶原点矩、k阶中心矩 随机变量X，若 ，记 则称 为X的k阶原点矩 1.6.4 随机变量的各阶矩 对于离散和连续随机变量，其k阶原点矩分别为 1.6.4 随机变量的各阶矩 又若E[X]存在，且 ，记 称 为X的k阶中心矩。对于离散和连续随机变量，其k阶中心矩分别为 1.6.4 随机变量的各阶矩 上述原点矩与中心矩之间存在如下关系 式中 1.6.4 随机变量的各阶矩 矩 的重要性在于： 如果对于所有的k， 存在且已知，则由矩 的集合，可以唯一地确定随机变量X的概率分布函数，即便不是所有的矩都存在，它们也能帮助描述其相应的概率分布的性质。 1.6.4 随机变量的各阶矩 下面是几个常用随机变量的矩 1、贝努里分布 则由定义，得 1.6.4 随机变量的各阶矩 2、均匀分布 。均匀分布的随机变量Y，它分布在[a,b]是，由定义得 1.6.4 随机变量的各阶矩 3、正态分布。设正态分布的随机变量其参量为 ，则可求出它的任意阶中心矩的一般公式。按定义 第一章 概 率 论 1.1 概率空间的概念 1.2 条件概率空间 1.3 随机变量及其概率分布函数 1.4 多维随机变量及其分布函数 1.5 随机变量函数的分布 1.6 随机变量的数字特征 1.7 随机变量的特征函数 1.8 极限定理 1.1 概率空间的概念 1.1.1 古典概率 若所观察的随机现象用A表示，在A中含有 个样本点，则规定出现事件A的概率P[A]为 1.1.1 古典概率 古典概率的基本性质如下： 对任何事件 ，均有 P[?]=1 对可列多个事件列{ }， =1，2，…，n，若 ， 是两两互不相交的事件，则 1.1.2 几何概率 设某一事件A（也是某一区域），它的量度大小为 ，若以 表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为 称为几何概率。 1.1.3 统计概率 设E是一试验，?是其样本空间。若在同样的条件下，将E独立的重复做n次。事件A出现了次，则称是这n次试验中事件A出现的频数，比值 称为n次试验中事件A出现的频率或简称为事件A的频率。 1.1.3 统计概率 对于任意的事件A，事件频率有下列的性质 1、对于任意事件A均有 2、 3、若 是试验E中两两互不相交的事件，且 仍是一事件，则有 归纳起来就是，事件是样本空间?的子集，?是必然事件，事件的概率P[A]是事件A的函数，亦即是一集合函数，且还需满足： 1、 2、 3、若 是两两互不相交的事件，则有 1.1.3 统计概率 1.2 条件概率空间 1.2.1 条件概率 P[A|B]称为条件概率。 1.2.2 全概率公式 在样本空间?上定义的任何一个事件A的概率P[A]，可以用条件概率的公式来表示。假定给出N个互斥事件 ，它的和等于整个? ，这个事件满足 则 1.2.3 贝叶斯公式 条件概率的公式可以推广到N个事件 或 则有 1.2.4 独立事件、统计独立 设 为一概率空间，事件 、 且P[A]0，若P[B|A]=P[B]，则称事件B随机独立于事件A。 性质： 注意：不要把两个事件的互斥与两个事件的统计独立混淆起来，它们是属于两个完全不同的概念。 1.3 随机变量及其概率分布函数 1.3.1 随机变量的概念 设随机试验的样本空间为 称定义在样 本空间 上的实值单值函数 为随机 变量. 随机变量即为定义在样本空间上的实值函 数. 随机变量 的取值由样本点 决 是一个事件， 定. 今后我们将事件 记为 …… （2