高中数学函数的导数.pdfVIP

普通函数的导数到算子的导数 中学中，我们首先接触的是一元函数，紧接着是二元函数与多元函数 . 而对 于函数的导数， 中学中只了解了一元函数的导数 . 导数作为微分学中重要的概念， 描述函数在定义域上某点附近的变化率 . 随着知识的不断深入，在大学教材中， 我们知道导数的本质是通过极限的形式对函数进行局部的线性逼近 . 随之，二元 函数与多元函数的导数也相应给出 . 当然，还有其它形式的导数，例如本文介绍 的 Frechet导数和 Gateaux导数 . 说到导数，导数的存在性也是非常重要的 . 由于导 数是描述函数的局部性质，所以并不是所有的函数都有导数 . 同样，一个函数也 不一定在所有的点上都有导数 . 若一个函数在某一点导数存在，则称其在这一点 可导，否者则称为不可导 . 1. 函数的导数与几何意义 定义 1.1 ( 一元函数的可微性 ) D 是开区间， f : D 1 ，x0 D . 如果函数的增 量可表示为 y f (x) f (x ) A (x x ) o(x x ) A x o( x) 0 0 0 A 是只依赖于 x 的常数，则称 f 在 x 可微 . A x 为 f 在 x 处相应于增量 x 的微 0 0 0 分 . A 为 f 在 x 的导数 ，记为 f (x ) ，其极限表示形式为 0 0 y f ( x0 x) f (x0 ) A f ( x ) lim lim 0 x 0 x x 0 x 一元函数导数的几何意义 如果函数 f 在 x 处可微（可导），由公式 0 f (x0 x) f (x0 ) f (x ) lim ， 0 x 0 x 可以做出函数 f 在 x 的导数 f (x ) 的几何图形，如下所示 0 0 高中数学 图 1.1 y f (x x) f (x ) 由图 1.1 可知红线的斜率为 tan 0 0 ，当