第四讲 塞瓦定理、梅涅劳斯定理.尖子.pdfVIP

相似—— 塞瓦定理、梅涅劳斯定理 模块一 梅涅劳斯定理和逆定理 知识点睛 △ABC BC CA 梅涅劳斯定理：如果一条直线与 的三边 、 、 或其延长线交于 、 、 点，那么 AB F D E AF BD CE   1．这条直线叫△ABC 的梅氏线，△ABC 叫梅氏三角形． FB DC EA C CG 证法一：如左图，过 作 ∥DF DB FB EC FG AF BD CE AF FB FG ∵  ，  ∴      1． DC FG AE AF FB DC EA FB FG AF 证法二：如中图，过 作AG∥BD 交 的延长线于G A DF AF AG BD BD CE DC ∴  ，  ，  FB BD DC DC EA AG AF BD CE AG BD DC 三式相乘即得：      1． FB DC EA BD DC AG 证法三：如右图，分别过 作 的垂线，分别交于 ． A、B、C DE H 、H 、H 1 2 3 则有AH ∥BH ∥CH ， 1 2 3 AF BD CE AH BH CH 所以    1  2  3 1． FB DC EA BH CH AH 2 3 1 梅涅劳斯定理的逆定理：若 、 、 分别是 的三边 、 、 或其延长线的三点， F D E △ABC AB BC CA AF BD CE 如果 ，则 、 、 三点共线．   1 F D E FB DC EA 1/8 典型例题 【例1】如图，在△ABC 中，D为BC 的中点，AE：EF：FD=4：3：1．求AG：GH：AB． 【例2】如图，在△ABC 中，∠A 的外角平分线与边BC 的延长线交于点P，∠B 的平分线与边CA交 于点Q，∠C 的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线． 【巩固】过△ 的重心 的直线分别交 、 于点 、 ，交 的延长线于点 ．求证： ABC G AB AC E F CB D BE CF + =1 EA FA 。 2/8 模块二 塞瓦定理及其逆定理 知识点睛 △ABC CP 塞瓦定理：如果 的三个顶点与一点 的连线 、 、 交对边或其延长线于点 、 、 ， P AP BP D E F BD CE AF 如图，那么 ．通常称点 为△AB