欧氏几何的公理化方法.ppt

欧氏几何的公理化方法; 一、公理化思想方法的内涵与价值 什么是“公理”？ 公理 ：在一个系统中已为反复的实践所证实而被 认为不需要证明的真理，是可以作为证明中的理论依据。 ;公理的自明性;公理化思想方法的作用;公理化方法的发展经历了以下几个时期;二、直观公理化时期——几何原本; 《几何原本》的主要内容 共13卷 第一卷：提出23个定义、5条公设、 5条公理、 48个命题 第一卷从定义、公设、公理开始，接着用 48个命题讨论了关于直线和由直线构成的平面图形。;大家学习辛苦了，还是要坚持;1）点是无大小的； 2）线是有长度而无宽度的； 3）线的界线是点； 4）直线是这样的线，它对于它的任何点来说都是同样放置着的； 5）面只有长度和宽度； 6）面的界线是线； 7）平面是这样的面，它上面的直线是同样地放置着的； 8）平面上的角是平面上两相交直线的倾斜度；… …;公设;公理; 欧几里得证明方法思路清晰，整个证明建立在严密的公理化基础上，使几何学成 为了真正的科学 《几何原本》中的命题有两种类型 一种是根据假设、公设、公理和定义利用逻辑推理得出结论 另一类是作图题，由已知的对象找出或作出所求对象。 ; 第二卷：14个命题; 第四卷：16个命题 包含圆的内接和外多边形的性质及正5、6边形的作图等。 第五卷：25个命题 内容为欧道克斯的比例论 ; 欧道克斯的比例论 18个定义。; 5）四个量形成第一个量与第二个量之比以及第三个量与第四个量之比，我们说这两个比是相同的：如果取第一、第三两个量的任何相同的倍数，取第二、第四两个量的任何相同的倍数后，从头两个量的倍数之间大于、等于、或小于可以推出后两个量的倍数之间的相应关系。 ; 第七～九卷：数论初步 第十卷：讨论不可公度量的分类，包括与整数的开方有关的几何运算。 第十一～十三卷：立体几何，分别由40、18、19个命题组成。包含直线与平面的位置关系、多面角、棱柱体、相似体积之比及正多面??等;三、思辨性的公理化时期——非欧几何; 《原本》的不足： 《原本》的逻辑体系是不严密、不完备的 1、缺少连续公理 2、缺少合同公理 3、缺少顺序公理; 《原本》中的公理体系作为几何学的逻辑推理基础是不够严密的，应该怎样修改、补充分理、定义才能使几何学成 为逻辑上完美无缺的科学？ ;第V公设的试证; 有1） ∠ C ＝∠ D 2）上底边中点和下底边中点连线垂直于上下底边。 ; 伦培得四边形 如图四边形ABCD中∠ A、 ∠B、 ∠ C均为直角。; 勒让德则研究三角形的内角之和 ; 高斯 波尔约 罗巴切夫斯基;; 四、形式主义公理化时期 ——希尔伯特的《几何基础》; 与欧氏公理系统不同的是，他对公理体系中基本概念和公理不给予任何具体的称为点、线、面。 在这三个集合中，引进用“结合”、“顺 序”、“合同”、“连续”、“平行”等词表示的五种关系，而关系的性质用相应的五组公理来刻画。; 希尔伯特的公理体系; 绝对几何：以上公理体系去掉平行公理; 结合公理; 结合公理; 建立在结合公理上的结论 定理1 （1）两直线至多有一个公共点；（2）一个平面和不在其上的一直线有一个公共点； （3）两个平面或者既无公共点又无公共线，或者有一条公共直线，它们的所有点都在这条直线上。 ; 定理2 过不共线三点恰有一平面；过一直线及不在其上的一点恰有一平面；过有公共点的两直线恰有一平面。 ; 顺序公理; 顺序公理; 1）公理Ⅱ1－Ⅱ3是直线上的点的顺序公理， Ⅱ4是平面顺序公理； 2）Ⅱ2保证线段外部有点，Ⅱ3断言共线三点至多有一点在其余两点之间； 线段内部有点，共线三点是必存在一点在其余两点之间的都要途径到巴士公理Ⅱ4 。; 定理1 对于任意两点A、C ，直线AC上至少有一