公务员排列、组合、二项式定理_排列.docx

排列、组合、二项式定理·排列组合应用问题 目标 1．掌握有关排列组合问题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力． 2．通过对典型错误的剖析，学生克服解题中的“重复”与“遗漏”等常见错误．培养思维的深刻性与批判性品质． 重点与难点 有条件限制的排列组合应用问题． 排列数公式： A nm n! m! 组合数公式 C nm n! m! (n m)! （一）有条件限制的排列问题 例 15 个不同的元素 a，b，c，d，e 每次取全排列． （1）a，e 必须排在首位或末位，有多少种排法？ （2）a，e 既不在首位也不在末位，有多少种排法？ （3）a，e 排在一起有多少种排法？ （4）a，e 不相邻有多少种排法？ （5）a 在 e 的左边（可不相邻）有多少种排法？ （教师出题后向学生提出要求；开动脑筋，积极思维，畅所欲言，鼓励提出不同解法，包括错误的解法） 师：请同学回答（ 1）并说出解题思路． 师：很好！问题（1）是排列问题中某几个元素必须 “在”某些位置的问题． 处理这类问题的原则是：有条件限制的元素或位置优先考虑． 师：请同学回答（ 2），并说出解题思路． 师：在上面解题过程中， 很好的运用了有条件限制的位置优先的原则， 这种解法是直接法还有其他方法吗？ 分别在排头、排尾的 4 种情况． 大家讨论研究．这时学生的思维活跃起来． 生丙：前一种解法对，后一种解法排列数少了． 师：遗漏在什么地方呢？ 减去 a 排头，即 a××××； 减去 a 排尾，即×××× a；减去 e 排头，即 e ××××；减去 e 排尾，即×××× e． 具体一排可以看出，在这四种情况中， a 排头 e 排尾， e 排头 a 排尾各多减了一次．学生明白了思维上的错误， 教师提出能否把上面错误的解法改造成正确的解法呢？ 由分析思维上的错误得到正确的认识，学生十分高兴．但认识并没有完结． 师：由上面的分析对我们有什么启发？ 生丁：在解题过程中具体排一排使我们想的更清楚． 师：好！“具体排”是一个好方法．这是抽象转化为具体的一种思维方法． 师：请同学回答问题（ 3），并说出解题思路． 解题思路是： a， e 排在一起，可将 a，e 看成一个整体，作为 1 师：好！排在一起的元素用“粘合法”看作一个元素． 师：请同学回答问题（ 4），并说出解题思路． 解题思路是：用 5 个元素的全排列数减去 a，e 排在一起的，就是 a，e 不相邻的． 师：这是间接法，还有其他方法吗？ e 不相邻，可将 a，e 排在上述 3 个元素排定后形成的 4 个空档中，排法 师：这是一个很好的设计． “插空档”的方法对解决排列问题中某几个元素不相邻的问题有普遍性． 这也是解决这类问题的通法， 对多个元素不相邻的问题，第一种解法（间接法）容易产生“重复”或“遗漏”． 师：请同学回答问题（ 5），并说出解题思路． 师：为什么要除以 2． 生：要求 a 在 e 的左边（可不相邻）即 a，e 有序，而 a，e 间的排列数有 2 种，所以要除以 2． 师：问题变换为 3 个元素按一定顺序呢？ 教师小结：排列应用题是实际问题的一种， 解应用问题的指导思想， 弄清题 意、联系实际、合理设计．调动相关的知识和方法是合理设计的基础．例 1 是排列的典型问题，解题方法可借鉴．排列问题思考起来比较抽象， “具体排”是一种把抽象转化具体的好方法． 2 同室 4 人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则 4 张贺年卡不同的分配方式有（）． （A）6 种（ B）9 种（C）11 种（ D）23 种 先让学生独立作，教师巡视，然后归纳不同的解法． 解法 1：列举法（具体排、填方格） 4 人为 A，B，C，D，他们自己所写的贺卡分别为 a，b，c，d，满足条件的分配方式列举如下： 因此，共有 3× 3=9 种不同的分配方式，故选 B． 解法 2：直接法． 分两步完成，第一步让 A 先拿，他可拿 b，c，d 中的任意一张， 有 3 种方法；假定 A 拿 b，第二步就让 B 拿，他可拿 a，c，d 中任意 1 张，也有 3 种方法．一旦 B 拿定了，假定 B 拿 a，那么 C， D两人的拿法也就随之确定了，只能 C拿 d D 拿 c 这 1 种方法．根据乘法原理，共有 3×3=9 种不同的分配方式，故选 B．解法 3：间接法． 先不考虑限制条件，即也允许拿自己送的贺年卡，不同的分配方式 4 人都拿自己送出的贺卡的分配方式只有 1 种； 所以， 4 个人都不拿自己送出的贺卡的分配方式共有 教师小结：在巡视过程中，我观察许多同学解排列组合应用题的思 考虑到本题给的数字小，“具体排”问题不难解决． （二）有条限制的组合问题 3 已知集合 A=｛ 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8