离散数学第三部分.ppt

第三部分 代 数 结 构 第五章 代数系统 5.1 二元运算及其性质 1．二元运算的定义与实例 设S为集合,函数f：S×S→S 称为S上的二元运算,简称为二元运算. 例如 f：N×N → N, f(<x,y>) = x + y就是自然数集合N上的二元运算,即普通的加法运算. 验证一个运算是否为集合S上的二元运算主要考虑两点： (1)、S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的. (2)、S中任何两个元素的运算结果都属于S,即S对该运算是封闭的.  例 设A={x︱x=2n,n ?N},则在集合A上通常的乘法运算是否封闭？加法运算呢？ 解：对任意的x，y?A, 设x=2r，y=2s，r,s ?N x·y=2r·2s=2r+s ?A,所以，A对乘法封闭. 但对加法运算不封闭。 事实上，取x=2，y=22 ?A, X+y=2+4=6 ?A. 2、一元运算的定义与实例 设S为集合,函数f：S→S称为S上的一元运算,简称为一元运算. 例如，设R是实数集合，求一个数的相反数就是R上的一个一元运算. 即 f: R→R ， f(x)=－x 求一个复数的共轭复数是复数集上的一个一元运算. 求集合的补集也是一元运算. 对于一元运算 f：S→S ，如果 x 的运算结果是y, 则f(x) = y,利用运算符，如⊕，简记为⊕ x = y? 如求A的补集记成~A，或 3．表示二元或一元运算的方法 (1)、解析公式法 所谓解析公式就是使用算符和表达式给出参与运算的元素和运算结果之间的映射规则. 例如： f：N×N → N ，f (<m,n>) = 2m+n. （2）、运算表法 对有穷集合上的一元和二元运算，还可以有运算表给出. 例 S={a,b,c,d},S上的二元运算 °如下表定义 ° a b c d a a d c c b c a b d c a a c b d d d a b 4．二元运算的性质 设 ＊为S上的二元运算, (1)、 如果对于任意的x,y∈S,有x ＊ y = y ＊ x,则称运算 ＊在S上满足交换律. (2)、 如果对于任意的x,y,z∈S有 (x ＊ y) ＊ z = x ＊(y ＊ z),则称运算＊在S上满足结合律. (3)、如果对于任意的x∈S有x ＊ x = x,则称运算＊在S上满足等幂律（幂等律）. (4)、设° 和＊为S上两个不同的二元运算, 如果对于任意的x,y,z∈S有 x＊ ( y ° z ) =(x＊y) ° (x ＊ z) ( y ° z) ＊ x =(y ＊ x) ° (z ° x), 则称运算＊对运算°是可分配的，也称＊对°满足分配律. (5)、如果°和＊都可交换,并且对于任意的x,y∈S ， 有 x ＊ (x ° y) = x x °(x ＊ y) = x, 则称°和＊运算满足吸收律. 5.2 二元运算中的特殊元素 1、幺元（单位元） 设 ＊为S上的二元运算, el、er、 e ∈S (1)、如果对任何x ∈S都有 el ＊ x = x 则称el 是S中关于运算 ＊的一个左幺元. （2）、如果对任何x ∈S都有 x＊ er = x 则称或er是S中关于运算 ＊的一个右幺元. （3）、若e 既是左幺元又是右幺元，则称 e 是S中关于运算 ＊的一个幺元. 例 在自然数集N上，0是加法的单位元， 1是乘法的单位元。 例 幂集P(S)上∪运算的单位元是Φ ， ∩运算的单 位元是S. 例 考虑非零实数全体所成集合R*，如下定义的二元运算 ° ： 对任意的a,b ∈R*, a ° b = a 则运算没有左单位元，但S中的每一个元素都是右单位元. 定理5.1 设 ＊为S上的二元运算, 如果S中存在（关于运算＊的）幺元，则幺元必是唯一的. 定理5.2 设 ＊为S上的二元运算, 如果S中既存在 左幺元el，又存在右幺元er ，则S中必存在幺元e， 并且el=er=e. 2、零元 设＊为S上的二元运算, θl