典型优化问题的遗传算法求解—4组合优化问题.doc

典型问题 组合优化问题 (Combinatorial Optimization Problems) 东北大学 系统工程研究所 2014.09 什么是组合优化 ? 定义： min f (x) s.t. x S, S X ? ? S, X : ? 假设是一个求极小的问题，目标函数为 f(x), ? 问题的解 x 属于 S，而 S 包含于 X，X 是解空间，S 是可行解空间（可行区域） ? 所谓组合优化，是指在离散的、有限的数学结构上， 寻找一个(或一组)满足给定约束条件并使其目标函 数值达到最小的解。 典型优化问题的模型与算法-R03 2 组合优化问题的特点 min f (x) s.t. x S, S X ? ? S, X :拥有有限个或可数无限 个解的离散集合 ? 如果 S 是有限集合的话，从理论上来讲，只要遍历所 有的组合，就能找到最优解。 ? 然而，随着问题规模的增大，S 中解的个数会迅速增大，实 际上要想遍历所有的解，几乎是不可能的。 ? 一般来说，组合优化问题通常带有大量的局部极值点，往 往是不可微的、不连续的、多维的、有约束条件的、高度 非线性的NP完全(难)问题 ? 组合最优化无法利用导数信息 ? 精确地求解组合优化问题的全局最优解的“有效”算法一 般是不存在的。 典型优化问题的模型与算法-R03 3 组合优化的研究 ? 怎么才能把一些社会现象、活动等捕捉归纳 为组合优化问题？ ? 怎么才能够在尽可能短的时间内求解组合优 化问题？ ? 各种组合优化问题拥有什么性质？ ? 为了构造快速解法，什么样的性质是有用的？ 典型优化问题的模型与算法-R03 4 组合优化问题 ? 在日常生活中，特别是在工程设计中，有许多组合 优化问题。 ? 其中一个重要而广阔的应用领域就是如何有效地利 用不充足的资源以提高生产效益。典型问题有： ? 覆盖问题(set-covering problem) ? 装箱问题(bin-packing problem) ? 背包问题(knapsack problem) ? 指派问题(assignment problem) ? 旅行商问题(traveling salesman problem) ? 影片递送问题(film delivery problem) ? 最小生成树问题(minimum span tree problem) ? 作业调度问题(job-shop scheduling problem) 典型优化问题的模型与算法-R03 5 求解方法分类 ? 从求解方法的大的分类上，可以分为： ? 精确的求解方法 ? 可以得到问题的最优解，对小规模问题适用，当问 题的规模较大时，一般无法在有限的时间内获得问 题的最优解 ? 所以，对于组合优化问题，通常采用的是近似求解 方法。 ? 近似的求解方法，可以进一步划分为： ? 以确保解的精度为目标的方法 ? 以尽可能获得更好解为目标的方法，包括： ? 启发式(Heuristics) ? 亚启发式(Meta-Heuristics) 典型优化问题的模型与算法-R03 6 近似求解方法 ? 以确保解的精度为目标的方法 ? 能保证一定的精度，且成本较低，例如： ?程序所获得的目标函数值和最优解的目标函数值相 比，达到90%或99%以上，而且获得这样的解的成 本不超过获得最优解的成本的10%或20%，这样的 算法是可接受的。 ? 当然，从数学上准确地保证并不是一件简单的 事情 ? 这类近似方法的研究，会产生很多有趣的数学 特征，吸引了很多从事理论研究的学者，从事 这方面的工作。 典型优化问题的模型与算法-R03 7 近似求解方法 ? 以尽可能获得更好解为目标的方法 ? 这类方法侧重于实际应用，有很多方法都是从实用 的角度出发来考虑问题的。 ? 启发式(Heuristics)方法 ? 是基于直观或经验构造的方法。即使我们求解很多的应 用问题，也不会产生精度很差的解，偶尔，对于非常棘 手的问题也许会产生精度很差的解，但一般的场合下， 应该没有问题。 ? 亚启发式(Meta-Heuristics)方法 ? 近年来在启发式方法中，一种被称之为亚启发式的方法 ，得到了广泛的研究，发现了一些较好的求解方法 ? GA就是其中之一，另外还有 TS，SA，PSO等算法。 典型优化问题的模型与算法-R03 8 近似求解方法 ? 亚启发式(Meta-Heuristics) ? 从算法的角度来讲，是指不依赖于特定问题的启发 式算法。 ? 其算法的基本框架被设计成不论对什么样的问题都 具有通用性。 ? 一般情况下，亚启发式算法要比特定问题专用的启 发式算法的解的精度要差。 ? 所以，针对特定的问题，要精心设计特定的算法。 也有人把以邻域搜索为基础的组合优化方法统称为 亚启发式 典型优化问题的模型与算