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第 1 讲 逻辑推理 我们常会见到这样一类题目，没有或很少给出什么数量关系，解决问题的主要方法不是 依靠数学概念、法则、公式进行运算，且较少用到专门的数学知识，而是根据条件和结论之 间的逻辑关系，进行合理的推理，最终找到问题的答案，这就是逻辑推理问题. 例 1 一次数学测验，A，B，C，D，E，F 中有一人得了 100 分，老师让他们猜一猜是谁得了 100 分． A：或者是E，或者是F． B:是我得了 100 分． C:是 D 得了 100 分． D:不会是 B 得了 100 分． E:不会是 C 得了 100 分． F:不会是我，也不会是 E． 老师说：你们只有两个人猜对了．那么，谁得了 100 分呢？ 思维点拨 从这六个人的话中可以看出，A 与 F 的话、B 与 D 的话相互矛盾，也就是说，每 一对中两个人的话必然是一真一假．根据“只有两个人猜对了”这个条件，得出 C 与 E 必为 假话，由 E 猜错可知，是 C 得了 100 分． 例 2 三块正方体，它们的六个面都按相同规律标有 1，2，3，4，5，6．请你判断一下，2 的对面是几?5 的对面是几?6 的对面是几？ (1) (2) (3) 思维点拨 从图 (1)，(3)可看出，2 的对面不可能是 5，6，1，4，那么 2 的对面一定是 3．从 图(1)，(2)可以看出，5 的对面不可能是 2，6，1，3，那么 5 的对面一定是4．剩下的6 的 对面一定是 1． 1 例 3 位学者在几年前逝世，逝世时的年龄数是他出生年份数的 ，这位学者在 1955 年主 29 持学术会议时是多少岁？ 思维点拨 由题意，出生年份数应是29 的倍数，又因为他在 1955 年主持过会议，因此出 生的年份应小于 1955.可以把小于 1955 且是 29 的倍数的数列举出来：1943，1914，1885， 1856，…，可以分析出生在 1885 年或 1943 年均不合理．只有出生在 1914 年才符合事实． 例 4 甲、乙、丙、丁四人进行有趣的会谈，用了汉、英、德、俄四种语言．情况如下： (1) 甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言； (2)有一种语言，四人中有三人都会； (3) 甲会俄语，丁不会俄语，乙不会英语； (4) 甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈； (5)没有人既会俄语，又会德语. 问甲、乙、丙、丁各会何种语言. 思维点拨 这是条件比较复杂的问题，应使用列表法进行分析推理，这样有助于解题，列表 格时，在肯定的一格打“√”在否定的一格打“×”． 例 5 已知在每个正方体的6 个面上分别写着 1，2，3，4，5，6 这 6 个数，并且任意两个 相对的面上所写的两个数的和都等于 7，现在把 5 个这样的正方体一个挨着一个地连接起来 (如图)，在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于 8，那么图中打 “？”的这个面上所写的 数是几？ 思维点拨 根据题意容易推出 1 的对面是 6，挨着 6 的面是 2；2 的对面是 5，挨着 5 的面是 3；3 的对面是 4，6 的对面是 1．因此第 3 个正方体左右两面只能是 2 与 5．到底左端是 2 还是 5 呢？我们不妨作出假设. 假设左端是 5，则其对面是 2，挨着 2 的面是 6，6 的对面是 1，挨着 1 的面(最右边一 块的左面)就应该是 7，与题意不符．所以最左端只能是 2，2 的对面是 5，挨着 5 的面是 3，3 的对面是4，挨着4 的面是4，4 的对面是 3． 例 6 有一次数学竞赛，共有 6 道题，均是是非题，正确的画“√”，错误的画 “×”，每题 答对得 2 分，不答得 1 分，答错得 0 分，王、张、赵、杨的答案如下表，杨得了多少分？ 思维点拨 由得分情况及答题数量知，张对4 道，错 1 道，未答 1 道，王、赵各对 3 道， 错 2 道，未答 1 道，因为王、张有 3 道的答案不同，且王、张共错 3 道，所以两人的错题只 能是(3)(4)(6)3道题，由此得到剩下 3 题的正确答案：(1