第2讲基本初等函数的图象与性质(教师).doc

专题 1　函数和导数、不等式 第2讲 函数的图象和性质 一.瞄准高考 1.函数的奇偶性 (1)判断函数的奇偶性,首先要研究函数的定义域,其次要考虑f(x)和f(－x)的关系. (2)判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式:f(x)±f(－x)＝0,eq \f(f(?x)?,f(?－x)?)＝±1. (3)奇偶函数的性质:定义域关于原点对称.f(x)为偶函数?f(x)＝f(|x|).若奇函数f(x)的定义域包含0,则f(0)＝0. 2.函数的单调性 函数的单调性可以从三个方面理解:(1)图形刻画:函数f(x)的图象上升或下降;(2)定性刻画:函数值随自变量的增大而增大或减小;(3)定量刻画,即定义. 3.函数的图象 函数图象关注三个方面: (1)作图:描点法和利用基本函数图象变换作图; (2)识图:分布范围、变化趋势、对称性、周期性等方面. (3)变换:平移变换、对称变换和伸缩变换等. 二.分析高考 题型一　函数的图象及使用 例1已知A、B、C为函数f(x)＝lgx图象上的三点,它们的横坐标依次为t、t＋1、t＋2(t>1). (1)求证:点B在线段AC的上方; (2)将△ABC的面积S表示为变量t的函数. 【解答】 (1)设A、B、C三点的纵坐标分别为yA,yB,yC. 则yA＝lgt,yB＝lg(t＋1),yC＝lg(t＋2)(t>1). 线段AC中点的纵坐标y＝eq \f(yA＋yC,2)＝lgeq \r(t2＋2t)<lgeq \r(t2＋2t＋1)＝lg(t＋1)＝yB. 所以点B在线段AC的上方. (2)S＝eq \f(yA＋yB,2)×1＋eq \f(yB＋yC,2)×1－eq \f(yA＋yC,2)×2, 于是S＝eq \f(lgt＋lg?t＋1?,2)＋eq \f(lg?t＋1?＋lg?t＋2?,2)－eq \f(2[lgt＋lg?t＋2?],2) ＝lg(t＋1)－lgeq \r(t2＋2t)(t>1). 【点评】 图象是解决数学问题的重要工具,尤其是解决函数问题的有效手段.结合函数图象的函数类高考题是高测试题一个新的生长点.此类考题给人耳目一新的感觉. 【变式1】已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x　?x>0?，,3x　?x≤0?，))且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且仅有两个实根,则实数a的取值范围是____________. 【分析】 本题主要考查函数的概念和性质,函数和方程的关系.关键是把f(x)＋x－a＝0化为f(x)＝a－x,再利用两个函数的交点个数和图象的关系得出实数a的取值范围.画出函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(log2x　?x>0?,3x　?x≤0?))的图象,画出g(x)＝a－x的图象,结合图象得a≤1时,关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且仅有两个实根.实数a的取值范围是(－∞,1］. 题型二　函数的性质及使用 例2 设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R,a为实数)． (1)若f(x)为偶函数,求实数a的值； (2)设a>2,求函数f(x)的最小值． 【思维启迪】 (1)f(x)为偶函数?f(－x)＝f(x)?a＝0.(2)含绝对值的函数的实质是分段函数,可以通过对x取值的分类讨论,去掉绝对值符号,得到分段函数． 解　(1)由已知f(－x)＝f(x),即|2x－a|＝|2x＋a|,解得a＝0. (2)f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋2x－a，　　x≥\f(1,2)a，,x2－2x＋a， x<\f(1,2)a，)) 当x≥eq \f(1,2)a时,f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1), 由a>2,x≥eq \f(1,2)a,得x>1,从而x>－1,故f(x)在x≥eq \f(1,2)a时单调递增,f(x)的最小值为f(eq \f(a,2))＝eq \f(a2,4)； 当x<eq \f(1,2)a时,f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1), 故当1≤x<eq \f(a,2)时,f(x)单调递增,当x<1时,f(x)单调递减,则f(x)的最小值为f(1)＝a－1. 由eq \f(a2,4)－(a－1)＝eq \f((a－2)2,4)>0,知f(x)的最小值为a－1. 【探究提高】 (1)对于偶函数可得f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；对于奇函数,若x＝0有意义,则总有f(0)＝0.(2)含绝对值的函数一般都要去掉绝对值符号,化成分段函数．(3)分段函数的单调性和最值问题,一般是在各段上分别说明,然后再合并说明． 【变式】 已知函数y＝x＋eq \f(a,x)有如下性质：如果常数a>0,那么该函数