圆锥曲线对称性质的价值探究.pdfVIP

· 课外拓展 · 2014年第 8期 解得P的坐标( ， ) 固雅 曲谈 住质的 那么删的垂直平分线为+ 一}(一 ) 令y=0得 Q的横坐标为 丁1 价 值 由于 >0， O<x<1 福建泉州市泉港区惠华中学 柯镁林 这里．j}=‘一争及直线oP方程的应用对解题起了关 键作用。 圆锥曲线的对称性是圆锥曲线的重要性质，本人利用 例2：(2014年福建省4月质检 节‘选)在平面直角坐 该性质研究得到一些结论，发现利用这些结论可在解决与 2 圆锥曲线的弦、切线相关的题 目时另辟蹊径 ，供大家参考。 标系xoy中，椭圆r：等 =1(，设斜率为k的直线过点C 一 、有用的结论 (一1，O)且交椭圆r于A，B两点，试探究椭 圆F上是否存 以椭圆等+_{；=l(n>6>0)为例来作分析： 在点P，使得四边形 OAFB为平行四边形?若存在，求出点 旷 D ‘ P的坐标；若不存在 ，请说明理由。 如图1，假设椭圆c上存在相 ， 分析：①当k=0时，A、B、0共线，故不能构成平行四边 异的两点A(x。，Y)，B( )。注意 到AB的中点 是圆锥曲线有关 彤 ；②当 ≠0时，假设存在这样的点P，利用上述结论 弦问题的重要的元素。由于图形 的对称性，则与AB平行且过原点 ／ 』 。 一 } ·j}|一寿故0P的方程为y一寿，代入AB 0的弦的中点就是 0。 f一 4k 假设AB的斜率存在且不为 0 (显然这两种情况的AB与x．y 的方程=j}(+1)解得： ，所以P(一 ， 轴垂直，故很直观)， 图 1 )，由P在r上 ，代人并化简可得：4k(1+4kz)=(1+ 由 季 一 ：鬲7-172一．X-1FX24k2)z，因为该方程无解。 +争= “ 故综上所述 ，不存在点 P，使得四边形 OAFB为平行 四边形。 即kae=一等 一· =一 一· 三、结论的推广 。 1 K 我们知道： 所以 kay"0^F一 1．已知点尸(xo,Xo)为圆0：2+ =r2(r>0)上任意一点，则 点P处的切线方程为 + 它的证明我采用了向量法 实际上，因为Z的任意性 ，故与z平行的椭圆C的所有 非