弹性力学平面问题极坐标.ppt

四个方程，五个未知量（p未知） 补充位移连续条件 平面应变问题 欲使对任意的? 成立，须有 令 上式整理为 因 与前三式 联立求解 A、C、A?、p，并代入得 3. 圆弧曲梁的纯弯曲 问题： 矩形截面曲梁, r ? x y a b M ? M O 为曲梁的曲率中心， 内半径为 a ， 外半径为 b ， 在两端受有大小相等而转向相反的弯矩 M 作用， 两端面间极角为? 。 分析： 取曲梁的曲率中心 O 为坐标的原点，并按图示建立坐标系。 O 由于各截面上弯矩 M 相同，因而可假定各截面上应力相同，构成一轴对称问题（对称轴为 z 轴）。 求解： （1）应力分量 由于是单连域， 位移式中无多值项， 故 （2）边界条件 内外侧： 自然满足 ① ② 自然满足 端面： 取 ? = ? 端 自然满足 两式直接积分有一定困难， 可利用应力分量与应力函数的关系简化积分 由 满足 ③ 联立①②③求解得 其中 所以 讨论： a）r = a 时，?? 取得最大值（绝对值）； b）中性轴不过截面形心，而偏于内侧； c）?? 关于截面不成线性分布，且挤压应力?r 与??同量级。 三. 圆孔的孔边应力集中 1. 问题的提法 无体力的矩形薄板， 薄板内有一个小圆孔 （半径 a 远小于板的尺寸）。 薄板对边均匀拉力q作用， 由于板内有微小圆孔，孔边应力将远大于距孔稍远处的应力， 称应力集中问题。 2a 本问题即是求解图示弹性体的应力解答。 q q 2. 问题的分析 以孔心作为原点建立坐标 y x r ? （1）无孔时 在极坐标系下 y x ? b a (?r)r = b (?r?)r = b q q y x a （2）有孔时 b 应力分布将发生变化， 但在距孔边较远处，其应力分布与无孔时几乎一致。 因此用较大半径 b??a ，以孔心为圆心作圆， 该圆周 上的应力即与无孔时的应力相同。 ? (?r)r = b (?r?)r = b 由截面法，以半径为b的大圆将板截为内外半径分别为a、b的圆环。 视圆周上的应力为圆环的面力，即 将面力分解为两组，即 问题转化为圆环分别在两组面力作用下应力解答的叠加。 ? y x ? b a pr p? y x ? b a pr? p?? y x ? b a pr? 3. 问题的求解 —— 第一组解答 在第一组面力 作用下， 系圆环仅受外压 应力解答 的轴对称问题。 = 4. 问题的求解 —— 第二组解答 在第二组面力 作用下， 圆环受非对称荷载， 系非对称问题。 用应力函数半逆解法求解。 （1）应力函数 由应力边界条件 可知，只要 r 不接近 a ， 由应力分量与应力函数的关系可知， 故设 代入相容方程得 解该Euler方程得 所以 （2）应力分量 （3）边界条件 内边界： 外边界： 将应力分量代入 联立解之，并令 所以 5. 问题的应力解答 解答的此形式称为齐尔西（G. Kirsch）解 6. 讨论 （1）应力集中 孔边（r ? a） 最大应力 无孔时 可见, 应力集中系数 （2）应力分布 q q y x q 3q ?? ● 沿水平方向（? ? 0） ? q ?? 0.16q 之后趋近于零，与无孔时的分布相同。 ● 沿竖直方向（? ?? ?2） 之后趋近于q，与无孔时的分布相同。 说明应力集中的影响范围仅限于局部区域，与力的局部作用原理（圣维南原理）相同。 y x （3）结果应用 ① 双向均匀拉压矩形薄板，距边界远处开小圆孔的计算 q2 q1 y x r ? q1 y1 x1 r ?1?? ? 分解为两个齐尔西解叠加 q2 y2 r ?2?? ???2 x2 ? ② 均匀应力任意形状薄板，距边界远处开小圆孔的计算 y x ?1 ?2 ?1 ?2 x?