人教版(教师版) 第2讲 平行线--尖子班.docx

PAGE 25 第2讲 平行线 知识点1 平行公理及推论 1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行. 直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b. 2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. 平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【典例】 1.如图，直线a，点B，点C. （1）过点B画直线a的平行线，能画几条？ （2）过点C画直线a的平行线，它与（1）中所作的直线平行吗？ 【解析】解：（1）由平行公理可知，过直线a外的一点B画直线a的平行线，有且只有一条直线与直线a平行； （2）过点C画直线a的平行线，它与（1）中所作的直线平行． 理由如下： 如图， ∵b∥a，c∥a， ∴c∥b. 【方法总结】 本题考查了平行公理及其推论．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.在公理中，要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法，要牢固掌握. 【随堂练习】 1．下列四种说法： ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段； ③相等的角是对顶角； ④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交． 其中，错误的是_____（填序号）． 【解答】解：∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，∴①错误； ∵在同一平面内，两条不相交的线段可能在一条直线上，说两线段是平行线段不对，∴②错误； ∵相等的角不一定是对顶角，∴③错误； ∵在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交，正确，∴④正确； 故答案为：①②③． 2．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．其中正确的说法是____． 【解答】解：①应为：两直线平行，同位角相等，故本小题错误； ②应为：在同一平面内，过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本小题错误； ③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直，故本小题正确； ④三条直线两两相交，总有一个交点或三个交点，故本小题错误； ⑤若a∥b，b∥c，则a∥c，故本小题正确； ⑥应为：在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c，故本小题错误． 综上所述，正确的有③⑤． 故答案为③⑤． 知识点2 平行线的判定 1. 平行线的判定方法： 判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：同位角相等，两直线平行. 如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b. 判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简单说成：内错角相等，两直线平行. 如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b. 判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简单说成：同旁内角互补，两直线平行. 如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b. 2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行. 注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立. 【典例】 1.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠E为直角，AB与CD平行吗？试说明理由. 【解析】解：AB∥CD. 理由：∵BE平分∠ABD（已知）， ∴∠ABD=2∠α（角平分线的定义）． ∵DE平分∠BDC（已知）， ∴∠BDC=2∠β （角平分线的定义）， ∴∠ABD+∠BDC=2∠α+2∠β=2（∠α+∠β）（等量代换）. ∵∠E为直角，即∠E=90°（已知）， ∴∠α+∠β=90°（直角三角形的两个锐角互余）， ∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代换）． ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）． 【方法总结】 首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠BDC=2（∠α+∠β）.由∠E为直角可得∠α+∠β=90°，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”可得答案．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线的定义和平行线的判定方法． 【随堂练习】 1．如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明BD∥CE． 【解答】解：∵∠A＝∠F（已知） ∴AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行 ） ∴∠D＝∠CEF（ 两直线平行，内错角相等） ∵∠C＝∠D（已知） ∴∠D＝∠CEF（等量代换） ∴BD∥CE（ 同