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专题15 不等式选讲
第35讲 不等式选讲
2019年
1.(2019全国II文23)已知
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时,,求的取值范围.
2.(2019全国1文23)已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:
(1);
(2).
3.(2019全国III文23)设,且.
(1)求的最小值;
(2)若成立,证明:或.
2010-2018年
解答题
1.(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5:不等式选讲](10分)
已知.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若时不等式成立,求的取值范围.
2.(2018全国卷Ⅱ) [选修4-5:不等式选讲](10分)
设函数.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若,求的取值范围.
3.(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5:不等式选讲](10分)
设函数.
(1)画出的图像;
(2)当时,,求的最小值.
4.(2018江苏)D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)
若,,为实数,且,求的最小值.
5.(2017新课标Ⅰ)已知函数,.
(1)当时,求不等式的解集;
(2)若不等式的解集包含,求的取值范围.
6.(2017新课标Ⅱ)已知,,,证明:
(1);
(2).
7.(2017新课标Ⅲ)已知函数.
(1)求不等式的解集;
(2)若不等式的解集非空,求的取值范围.
8.(2017江苏)已知,,,为实数,且,,
证明.
9.(2016年全国I高考)已知函数.
(I)在图中画出的图像;
(II)求不等式的解集.
10.(2016年全国II)已知函数,M为不等式的解集.
(I)求M;
(II)证明:当a,时,.
11.(2016年全国III高考)已知函数
(Ⅰ)当a=2时,求不等式的解集;
(Ⅱ)设函数,当时,,求a的取值范围.
12.(2015新课标1)已知函数,.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若的图像与轴围成的三角形面积大于6,求的取值范围.
13.(2015新课标2)设均为正数,且,证明:
(Ⅰ)若>,则;
(Ⅱ)是 的充要条件.
14.(2014新课标1)若,且.
(Ⅰ) 求的最小值;
(Ⅱ)是否存在,使得?并说明理由.
15.(2014新课标2)设函数=
(Ⅰ)证明:2;
(Ⅱ)若,求的取值范围.
16.(2013新课标1)已知函数=,=.
(Ⅰ)当=-2时,求不等式<的解集;
(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.
17.(2013新课标2)设均为正数,且,证明:
(Ⅰ)
(Ⅱ)
18.(2012新课标)已知函数.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若的解集包含,求的取值范围.
19.(2011新课标)设函数,其中.
(Ⅰ)当时,求不等式的解集;
(Ⅱ)若不等式的解集为 ,求a的值.
答案部分
2019年
1.解:(1)当a=1时,.
当时,;当时,.
所以,不等式的解集为.
(2)因为,所以.
当,时,.
所以,的取值范围是.
2.解析 (1)因为,又,故有
.
所以.
(2)因为为正数且,故有
=24.
所以.
3.解析(1)由于
,
故由已知得,
当且仅当x=,y=–,时等号成立.
所以的最小值为.
(2)由于
,
故由已知,
当且仅当,,时等号成立.
因此的最小值为.
由题设知,解得或.
2010-2018年
1.【解析】(1)当时,,即
故不等式的解集为.
(2)当时成立等价于当时成立.
若,则当时;
若,的解集为,所以,故.
综上,的取值范围为.
2.【解析】(1)当时,
可得的解集为.
(2)等价于.
而,且当时等号成立.故等价于.
由可得或,所以的取值范围是.
3.【解析】(1)
的图像如图所示.
(2)由(1)知,的图像与轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当且时,在成立,因此的最小值为5.
4.D.【证明】由柯西不等式,得.
因为,所以,
当且仅当时,不等式取等号,此时,
所以的最小值为4.
5.【解析】(1)当时,不等式等价于
.①
当时,①式化为,无解;
当时,①式化为,从而;
当时,①式化为,从而.
所以的解集为.
(2)当时,.
所以的解集包含,等价于当时.
又在的最小值必为与之一,
所以且,得.
所以的取值范围为.
6.【解析】(1)
(2)∵
,
所以,因此.
7.【解析】(1),
当时,无解;
当时,由得,,解得
当时,由解得.
所以的解集为.
(2)由得,而
且当时,.
故m的取值范围为.
8.【解析】证明:由柯西不等式可得:,
因为
所以,
因此.
9.【解析】(1)如图所示:
(2) ,.
当,,解得或,.
当,,解得或,
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