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第3章 谓词逻辑与归结原理 命题逻辑 谓词逻辑基础 谓词逻辑归结原理 Herbrand定理 Herbrand定理 问题： 一阶逻辑公式的永真性（永假性）的判定是否能在有限步内完成？ Herbrand定理 1936年图灵(Turing)和邱吉(Church)互相独立地证明了： “没有一般的方法使得在有限步内判定一阶逻辑的公式是否是永真（或永假）。但是如果公式本身是永真（或永假）的，那么就能在有限步内判定它是永真（或永假）。对于非永真（或永假）的公式就不一定能在有限步内得到结论。判定的过程将可能是不停止的。” Herbrand定理 Herbrand的思想 定义： 公式G永真：对于G的所有解释，G都为真。 思想： 寻找一个已给的公式是真的解释。然而，如果所给定的公式的确是永假的，就没有这样的解释存在，并且算法在有限步内停止。 Herbrand定理（H域） 基本方法： 因为量词是任意的，所讨论的个体变量域D是任意的，所以解释的个数是无限、不可数的 。 简化讨论域。建立一个比较简单、特殊的域，使得只要在这个论域上，该公式是不可满足的。 此域称为H域。 D域 H域 H域与D域关系示意图 H域例题 例3.19 设子句集S={P(x)，Q(y)∨R(z)}，求H域。 H0={a} H1=H0={a} …… H∞ = H1∪H2∪H3………={a} 例3.20 设子句集S={P(a)，Q(x)∨R(f(x))}，求H域。 H0={a} H1=H0={a,f(a)} H2={a,f(a),f(f(a))} …… H∞ = H1∪H2∪H3………={a,f(a),f(f(a))} 例3.21 设子句集S={P(a)，Q(b)∨R(f(x))}，求H域。 此题中有两个常量a,b H0={a,b} H1=H0={a,b,f(a),f(b)} H2={a,b,f(a),f(b),f(f(a)),f(f(b))} …… H∞ = H1∪H2∪H3………={a,b,f(a),f(b),f(f(a)),f(f(b)),…} H域例题 H域例题 例3.22 设子句集S = { P(x), Q(y,f(z,b)),R(a)}，求H域 解： H0 ＝ {a, b}为子句集中出现的常量 H1 ＝ {a, b, f(a,b), f(a,a), f(b,a), f(b,b)} H2 ＝ { a, b, f(a,b), f(a,a), f(b,a), f(b,b)， f(a,f(a,b)), f(a,f(a,a)), f(a, f(b,a)), f(a, f(b,b)), f(b,f(a,b)), f(b,f(a,a)), f(b, f(b,a)), f(b,f(b,b)), f(f(a,b),f(a,b)), f(f(a,b),f(a,a)), f(f(a,b), f(b,a)), f(f(a,b), f(b,b)), f(f(a,a),f(a,b)), f(f(a,a),f(a,a)), f(f(a,a), f(b,a)), f(f(a,a), f(b,b)), f(f(b,a),f(a,b)), f(f(b,a),f(a,a)), f(f(b,a), f(b,a)), f(f(b,a), f(b,b)), f(f(b,b),f(a,b)), f(f(b,b),f(a,a)), f(f(b,b), f(b,a)), f(f(b,b), f(b,b))} ……… H∞ = H1∪H2∪H3……… H域例题 例3.23 设子句集S={P(c)，Q(f(x),R(g(x)))}，求H域。 此题中有常量c，函数f(x),g(x) H0={c} H1=H0={c,f(c),g(c)} H2={c,f(c),g(c),f(f(c)),f(g(c)),g(f(c)),g(g(c))} …… H∞ = H1∪H2∪H3………={c,f(c),g(c),f(f(c)),f(g(c)), g(f(c)),g(g(c))},…} Herbrand定理（H域） 原子集A：公式中的谓词取H域中的元素组成的集合。如 A = {所有形如 P(t1, t2, …tn)的元素} 即把H中的东西填到S的谓词里去。 S中的谓词是有限的、可数的，H域中的元素是可数的，因此，A中的元素也是可数的。 原子集例题 上例题的原子集为： A = { P(a), Q(a, a), R(a), P(b), Q(b, a), Q(b, b), Q(a, b), R(b), P( f(a,b)), Q(f(a, b), f(a, b)), R(f(a, b), P(f(a,a)), P(f(b,a)),