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【教学过程】
* 揭示课题
9.3.3 直线和平面垂直的判定和性质
* 情境导入
正方体 ABCD A B C D 中 (图9-33 ),直线 BB1 与
1 1 1 1
直线 AB 、BC、CD 、AD 、AC 所成的角各是多少?
可以发现,这些角都是直角.
* 引入新知
如果直线 l 和平面 内的任意一条直线都垂直,那么就称 直线 l 与平面 垂直 ,记作
l .直线 l 叫做 平面 的垂线 ,垂线 l 与平面 的交点叫做 垂足 .
画表示直线 l 和平面 垂直的图形时,要把直线 l 画成与平行四边形的横边垂直(如图
9-34 所示),其中交点 A 是垂足.
根据定义判断直线与平面垂直, 需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直, 这是比较困
难的.那么,如何判定直线和平面垂直呢?
【观察】
我们来看看实践中工人师傅是如何做的.
如图 9-44 所示, 检验一根圆木柱和板面是否垂直. 工人师傅的做
法是,把直角尺的一条直角边放在板面上,看曲尺的另一条直角
边是否和圆木柱吻合,然后把直角尺换个位置,照样再检查一次
(应当注意,直角尺与板面的交线,在两次检查中不能为同一条
图 9-44
直线).如果两次检查,圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合,
就判定圆木柱和板面垂直.
从大量的实践与观察中, 归纳出直线与平面垂直的判定方法: 如果一条直线与一个平面
内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直.
【观察】
观察道路边的电线杆可以发现它们都垂直于地面, 并且这些电线杆是平行的. 这一事实
启发我们得出直线与平面垂直的性质.
由大量的实验与观察,归纳出直线和平面垂直的性质: 垂直于同一个平面的两条直线
互相平行.
如图 9- 47 所示,设 m , n ,则 m ∥n .
n
m
图 9-4 7
[ 想一想 ]
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面, 那么另一条也垂直于这个平面吗?为
什么?
* 例题讲解
例 1 长方体 ABCD - A 中(如图 9-45 ),直线 AA 与平面 ABCD 垂直吗?为什么?
1B1C 1D1 1
例2 如图 9- 48,AB 和CD 都是平面 的垂线, 垂足分别为 B 、D,A 、C分别在平面 的两侧,
AB =4 cm ,CD =8 cm ,BD =5 cm,求 AC 的长.
* 练习强化
1.一根旗杆 AB 高 8 m ,它的顶端 A 挂两条 10 m 的绳子,拉紧绳子并把它们的两个下
端固定在地面上的 C、D 两点,并使点 C 、D 与旗杆脚 B 不共线,如果 C、D 与 B 的距离都
是 6 m,那么是否可以判定旗杆 AB 与地面垂直,为什么?
2.如图所示, ABC 在平面 内, BAC 90 ,且 PA 于 A ,那么 AC 与 PB 是否
垂直?为什么?
* 揭示课题
9.3.4 直线与平面所成的角
* 情境导入
如图 9-36 所示,炮兵在发射炮弹时,为了击中目标,需要调整好炮筒与地面的角度.
* 引入新知
斜线 l 与它在平面 内的射影 l 的夹角,叫做 直线 l 与平面 所成的角 .如图
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