一维热传导方程分离变量法与有限差分法Matlab解法.pdf

模拟与仿真 根据课上所学知识，我们有如下方程：  2 u a u 0, 0 x l , t 0 − =< < >  t xx u x 0 0, ux x l 0, t >0  ( ), 0 u ϕ x x l  t 0 =< < 为便于解释做题，我们令： a=1 l=pi =x; 下面开始求解： 分离变量法 根据课上所讲 其中： 我们有如下代码： x=0:0.1*pi:pi; y=0:0.4:10; [x,t]=meshgrid(x,y); u=0; m=length(j);%matlab 可计算的最大数，相当于无穷 for i=0:m u=u+8*(-1)^i/(pi*(2*i+1)^2)*(sin((2*i+1)/2*x).*exp(-(2*i+1)^2/4*t)); end; surf(x,t,u); xlabel('x'),ylabel('t'),zlabel('T'); title(' 分离变量法（无穷）'); disp(u); 得到如图所示的热传导方程： 有限差分法 u=zeros(20,100); %t=1 x=pi 20 行100 列 横坐标为x 纵坐标为t s=(1/100)/(pi/20)^2; fprintf('稳定性系数S 为:\ n'); disp(s); for i=1:20 u(i,1)=i/20*pi;; end; for j=1:100 u(1,j)=0; end for j=1:99 for i=2:19 u(i,j+1)=s*u(i+1,j)+(1-2*s)*u(i,j)+s*u(i-1,j); end end for j=1:100 u(20,j)=u(19,j); end; disp(u); [x,t]=meshgrid(1:100,1:20); surf(x,t,u); xlabel('t'),ylabel('x'),zlabel('T'); title(' 有限差分法解'); 我们得到如图所示的热传导方程： 结论： 比较可得由以上两种方法作出的三维图形基本相同，符合热传导的热量分布 随时间和空间的变化规律 第四题完成