“由完全平方公式想到‘杨辉三角’”教学设计.doc

“由完全平方公式想到‘杨辉三角’”教学设计 合肥46中南校区 杨纯 一、教学目标 1.了解二项式乘方展开式中，项数、次数和系数的规律，了解杨辉三角的历史. 2.理解杨辉三角与二项式乘方展开式系数的密切联系. 3.让学生在经历探索杨辉三角的过程中，体验通过观察、概括可以获得新的知识结构，从而激发学生“用数学”的意识. 二、教学重难点 教学重点：杨辉三角与二项式乘方展开式系数的密切联系. 教学难点：二项式乘方展开式中，项数、次数和系数的规律. 三、教学过程 （一）创设情境、引入概念 师：中国是世界文明古国之一，而数学是中国古代科学中一门非常重要的学科，其发展源远流长，成就辉煌……在中国的南宋时期，也有一位杨老师，他概括和总结了杨辉三角。今天，就让我们追随先人的脚步，共同探究杨辉三角。（板书课题） 任务一：找规律，并将表格补充完整 师：这个表格跟一般的表格不一样，它是什么形状呢？ 学生：三角形. 1 1 1 1 2 1 3 3 1 1 4 6 4 1 5 10 1 1 1 ………………………………………………………… 师生核对答案，引导学生总结该三角表的规律： ①第1行有1个数字，第2行有2个数字，第3行有3个数字，每1行的数字个数依次递增. ②除了1的每个数字都等于左上角和右上角的数字之和. 师：大家可以为表格续写两行吗？ 师生核对答案，并提醒学生先确定每一行的数字个数，再填写每一个具体的数字. 师：我们可以接着写下去吗？能写得完吗？ 待学生集体回答后，师：我们就把这个三角表称为“杨辉三角”。 任务二：介绍杨辉三角的历史 ①杨辉是我国南宋末年数学家、教育家。 ②“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。 ③在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。 ④杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右。 ⑤杨辉三角实际是二项式乘方展开式的系数表。 任务三：探究杨辉三角与二项式乘方的关系 师：大家知道完全平方公式吗？如何用式子表示？（PPT出示： (a+b)2=a2+2ab+b2） 师：那（a+b）的一次方呢？（PPT出示：(a+b)1=a+b） 师：（a+b）的0次方呢？ （启发学生回忆“任何一个不等于0的数的0次幂都等于1，指出限制条件为“a+b≠0”） （PPT出示： (a+b)0=1） 师：我们知道了（a+b）的0、1、2次方的结果，你还能提出什么问题吗？ （启发学生提出问题：那（a+b）的3次方吗？） （同时启发学生思考：(a+b)3就是在(a+b)2的基础上再乘上(a+b)，即我们学过的三项式乘二项式） 学生自主计算，（PPT出示：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3） 师：那(a+b)4怎样计算呢？ （启发学生思考：可以在(a+b)3的基础上再乘（a+b），或者在(a+b)2的基础上再乘(a+b)2） 师：既然算起来比较复杂，我们不妨来找找有没有规律？ （二）合作交流、探究新知 学生自主观察下面的式子，两人为一组合作交流： (a+b)0 (a+b≠0) = 1 (a+b)1 = a+b (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 （在学生观察进展不顺利时，教师提醒可以从展开式有几项、每一项的次数、每个字母的次数、每一项的系数等角度出发展开思考） 请学生代表发言，教师总结： 1、项数 (a+b)0的展开式是单项式；(a+b)1的展开式是二项式；(a+b)2的展开式是三项式……以此类推，(a+b)4的展开式是五项式，(a+b)5的展开式是六项式-----你知道项数和什么有关吗？项数=次数+1. 2、次数 （1）在展开式“a+b”中，各个单项式的次数都是1；在展开式“a2+2ab+b