数值分析-西北工业大学计算与应用数学.ppt

* * * * * * * * 5）初值误差 由于初始值选取不合理所造成的最终结果的差异。 * * * * * * * * * * * zhwang@ * 例题1 解： * zhwang@ * 3. 初值误差传播 概念：近似数参加运算后所得之值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为误差传播 。 误差传播的表现： 算法本身可能有截断误差； 初始数据在计算机内的浮点表示一般有舍入误差； 每次运算一般又会产生新的舍入误差，并传播以前各步已经引入的误差； 误差有正有负，误差积累的过程一般包含有误差增长和误差相消的过程，并非简单的单调增长； 运算次数非常之多，不可能人为地跟踪每一步运算。 * zhwang@ * 初值误差传播（续） 初值误差传播：假设每一步都是准确计算，即不考虑截断误差和由运算进一步引入的舍入误差，仅介绍初始数据的误差传播规律。 研究方法： 泰勒（Taylor）方法 n元函数 一元函数（计算函数值的条件数） * zhwang@ * 复习泰勒公式 * zhwang@ * 函数运算的误差估计 一元函数：y=f(x) 绝对误差传播分析 关系式推导 由微分中值定理知 * zhwang@ * 相对误差传播分析 关系式推导 类似的讨论，可如下定义相对误差意义下的条件数： 讨论：当 时，函数值的扰动比自变量的微小变化还要小；而当 很大时，自变量的微小变化，将引起函数值较大的扰动，此时，称x是函数在绝对误差意义下的坏函数值点。 定义绝对误差意义下的条件数： 函数运算的误差估计（续） * zhwang@ * 泰勒公式分析初值误差传播 * zhwang@ * 泰勒方法（n元函数） 以及相对误差 进而得到如下绝对误差限和相对误差限传播关系： * zhwang@ * 泰勒方法（二元函数） 二元函数算术运算误差传播规律 绝对误差限 相对误差限 * zhwang@ * 泰勒方法（一元函数） Remark: 对于具体的一组数据，上面给出的误差限传播公式是实际误差的一个粗糙偏大的估计. 如对于加法运算的估计，它包括了误差源同号且同时均达到了误差限这一最坏的情况，实际情况往往并非这么坏. * zhwang@ * 三、误差定性分析及数值运算中的基本原则 病态问题与条件数 数值稳定性 数值运算中的其它基本原则 * zhwang@ * 病态问题与条件数 对一个数值问题，若由于问题本身而使计算结果绝对误差或相对误差的绝对值很大，这种问题称为绝对误差意义下或相对误差意义下的病态问题． 称 和 分别为绝对误差意义下和相对误差意义下计算函数值f(x)的条件数．对一般问题，自变量的绝对误差及相对误差常常不会太大，然而若条件数很大，则会引起函数值绝对误差或相对误差的绝对值较大．出现这种现象的问题称为绝对误差意义下或相对误差意义下的病态问题．非病态的问题称为良态问题． * zhwang@ * 病态问题与条件数（续） 实际中常常关注的是相对误差意义下的病态问题． 例如 若 则 此问题是良态的。 若 则 此问题是病态的。 病态问题和良态问题之间没有严格的界限．通常当 或 时，就认为问题是病态的． * zhwang@ * 病态问题与条件数（续） 例 对于方程组 研究?=0.99用?* =0.991近似时，其微小摄动对解相对误差的影响． 解 当?=1时，系数矩阵奇异，方程组无解。 当??1时，解为 其相对误差意义下的条件数为 * zhwang@ * 病态问题与条件数（续） 当??1时，若输入数据?有误差，则解相对误差的绝对值会很大。 例如?=0.99时， ， 。所以，?=0.99时问题是病态的． 事实上，当?=0.99时，x?50.25，y??49.75；当?*=0.991时，x*?55.81，y*??55.30。且 它表示?有1%的微小摄动将使解相对误差的绝对值近似放大100倍。因此，当?=0.99时问题是病态的。只有当 时问题才为良态。 * zhwang@ * 病态问题与条件数（续） 由于输入数据总会有误差，所以求解的问题是否是病态问题应该引起足够的重视。一个数学问题是否病态决定于问题的自身，它与采用什么数值算法求解并无关系。但是求解病态问题必须非常谨慎，一般采用提高初值精度以及双精度计算来