直线与双曲线位置关系.doc

资料 直线与双曲线的位置关系和抛物线及其标准方程 知识点1：直线与双曲线的位置关系 1.直线与双曲线的位置关系的判断 设直线y=kx+b，双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)联立消去y得Ax2+Bx+C=0（a≠0），Δ=B2 －4AC。 若A=0即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若Δ>0,直线与双曲线相交，有两个交点； 若Δ=0，直线与双曲线相切，有一个交点； 若Δ<0，直线与双曲线相离，无交点； 直线与双曲线有一个公共点是直线与双曲线相切的必要不充分条件。 2.弦长问题 设直线l:y=kx+n，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)， 且由，消去y→ax2+bx+c=0（a≠0），Δ=b2 －4ac。 弦长公式：（k为直线斜率） 例题选讲： 例1：直线l：y＝kx＋1与双曲线C：2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A、B．求实数k的取值范围； 解　(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程2x2-y2=1后，整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.① 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点， 故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k2－2≠0，,Δ＝(2k)2－8(k2－2)>0，,－\f(2k,k2－2)>0，,\f(2,k2－2)>0.)) 解得k的取值范围是－2<k<－eq \r(2). 例2：已知中心在原点，顶点在轴上，离心率为的双曲线经过点 （Ⅰ）求双曲线的方程； （Ⅱ）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问是否存在直线使平分线段。试证明你的结论。 例3：已知椭圆C1的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点． (1)求双曲线C2的方程； (2)若直线l：y＝kx＋eq \r(2)与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))>2 (其中O为原点)，求k的取值范围． 解　(1)设双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1， 则a2＝4－1＝3，c2＝4，由a2＋b2＝c2，得b2＝1， 故C2的方程为eq \f(x2,3)－y2＝1. (2)将y＝kx＋eq \r(2)代入eq \f(x2,3)－y2＝1，得(1－3k2)x2－6eq \r(2)kx－9＝0. 由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－3k2≠0.,Δ＝(－6\r(2)k)2＋36(1－3k2),　＝36(1－k2)>0.))∴k2≠eq \f(1,3)且k2<1. ① 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq \f(6\r(2)k,1－3k2)，x1x2＝eq \f(－9,1－3k2). ∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋eq \r(2))(kx2＋eq \r(2)) ＝(k2＋1)x1x2＋eq \r(2)k(x1＋x2)＋2＝eq \f(3k2＋7,3k2－1). 又∵eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))>2，得x1x2＋y1y2>2， ∴eq \f(3k2＋7,3k2－1)>2，即eq \f(－3k2＋9,3k2－1)>0，解得eq \f(1,3)<k2<3， ② 由①②得eq \f(1,3)<k2<1. 故k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(\r(3),3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1)). 例4：已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点． （1）求双曲线方程； （2）若点在双曲线上，求证：； （3）对于（2）中的点，求的面积． 解：（1）由题意，可设双曲线方程为，又双曲线过点，解得 ∴ 双曲线方程为； （2）由（1）可知，，， ∴ ， ∴ ，， ∴ ， 又点在双曲线上， ∴ ， ∴ ， 即； （3） ∴的面积为6． 知识点2：抛物线及其标准方程 1．抛物线定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程与几何性质 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) 图形 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R 对称轴 x轴 顶点坐标