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Volumes by Cylindrical Shells 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012 柱 壳 法 Shell Method 柱壳法 是计算 xOy 坐标面上的图形绕 y 轴旋转所得旋转体的体积的公式。美国的微积分教材一般都有这个公式的介绍（他们叫Shell Method）。 柱壳法的思路是将旋转体分成很多很薄的柱壳，然后利用定积分将这些柱壳的体积累积起来，得到旋转体的体积。 柱壳法的方便之处：虽然图形是绕 y 轴旋转，但是柱壳法却是沿 x 轴积分。这样做有时会给我们的计算带来极大的便利。 设 由曲线 y = f(x), y=0, x=a, x=b 所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周，得一旋转体。 求旋转体的体积 V。 用以下方法求体积元素： 体积元素是一层柱壳的体积的近似值 柱壳 柱壳半径 柱壳的高 度 柱壳的厚 度 体积元素是一层柱壳的体积的近似值 柱壳法 柱壳法示意图 柱壳法示意图动画 解 例 求 与 x 轴所围成的图形分别绕 x 轴和 y 轴所得的旋转体的体积。 同济大学《高等数学》（第六版）286页20题。 用“圆片法”求绕 x 轴的旋转体体积： 用“柱壳法”求绕 y 轴的旋转体体积： 例 求摆线 与 x 轴所围成的图形绕 y 轴所得的旋转体的体积。 用“柱壳法”求图形绕 y 轴所得的旋转体的体积。 2010.4.7 附：国内外微积分教材有关“柱壳法”的介绍 美国微积分教材有关“柱壳法”的介绍 同济大学《高等数学》（第六版）286页 在一道习题中要求学生推导“柱壳法”。 四川大学数学学院 徐小湛 May 2012
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