[第5讲.创新小题类型全解.教师版]-尖子班.doc

创新小题有两个特点“新”，“小”． 所谓“新”，有三个方面： 1、知识背景新 在创新小题中，出题者往往会通过给出某些新的概念、结论、性质或方式方法作为信息，而后在此背景下让考生解决相关的问题．解决这类问题的重难点在于正确的理解信息，并将其表述形式转化为常规而便于使用的（这一过程称为信息迁移）． 2、探索问题新 有些创新小题并不给出新的知识背景（或是仅给出的知识背景相当简单），但要求考生解决与题干信息关联不直接的复杂问题或是对一些开放性结论作出判断．解决这类问题的重难点在于如何在给定信息背景下通过积极的探索（主要方式有观察猜测、递推归纳、类比、分类讨论等等）获得更多有效的信息． 3、综合方式新 有些创新小题既没有新的知识背景，要求解决的问题也很常规，但题目的综合性强，综合方式新颖灵活．主要表现在题干条件不是简单的堆砌而需要灵活转化利用，考查知识点时不是无味的“拼盘”而有层次的递进考查．解决这类问题的重难点在于如何将错综的条件转化为规整的条件以及如何将棘手的问题分解化归为熟悉的问题． 所谓“小”，也有三个方面： 1、题干小巧 由形式所限，创新小题题干所承载的信息量一般都较小，也就是说解题的关键点很集中，一般不需要进行复杂的转化或讨论． 2、探索目标小 创新小题的问题相对封闭，也就是说解题时要明确目标，集中力量穷追猛打． 3、计算强度小 创新小题主要考查的是思维的灵活程度，而对计算能力要求相对较低，因此当解题过程中出现很复杂的计算时应考虑转换调整思考方向． 针对创新小题的这些特点，我们循如下图所示的解题流程图，就在解题过程中涉及的一些朴素的、具有一般性的想法展开探究． 对于在题干中给出某些新的概念、结论、性质或方式方法作为信息的创新小题，我们需要对新的信息进行阅读理解，并根据问题的不同将信息转化为不同的表达方式以方便解题． 考点1：对信息的理解 为了准确的理解新信息，我们经常使用的手段是类比、实例化和化简条件．很多创新小题甚至直接以这三种手段为考查对象． ⑴（2008年丰台一模）设集合，在上定义运算“”为：，其中为被除的余数，．则满足关系式的（）的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 ⑵（2012年房山高三期末）规定记号“”表示一种运算，即，其中均为正实数．若，则的值为 ，此时函数的最小值为 ． ⑴ C． ⑵ ，． （2009年朝阳二模）对于任意两个正整数，定义运算（用表示运算符号）： 当都是正偶数或都是正奇数时，； 当中一个为正偶数，另一个为正奇数时，． 例如，，． 在上述定义中，集合的元素有 个． ． （2008年朝阳二模）把形如（）的正整数表示成各项都是整数、公差为的等差数列前项的和，称作“对的项分划”．例如，把表示成，称作“对的项分划”，把64表示成，称作“对的项分划”．据此，对的项分划中最大的数是______；若的项分划中第项是，则的值是______． ；． （2011年四川）函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数．例如，函数（）是单函数．下列命题： ① 函数（）是单函数； ② 若为单函数，且，则； ③ 若为单函数，则对于任意，它至多有一个原象； ④ 函数在某区间上具有单调性，则一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号） ②③④． 考点2：对信息的转化 我们知道数学有三种语言：文字语言、图形语言以及符号语言．数学信息也有对应的不同表达形式：本质化的文字语言、直观化的图形语言以及形式化的符号语言．为了有效的应用信息，我们必须用最合适的语言表达信息． 已知，用表示不超过的最大整数，记． ⑴（2011年朝阳一模文）若，则与的大小关系是（ ） A．不确定（与的值有关） B． C． D． ⑵（2011年丰台一模文）下面关于函数的四个命题： ① 函数的定义域为，值域为； ② 函数的图象关于轴对称； ③ 函数是周期函数，最小正周期为； ④ 函数在上是增函数． 其中正确命题的序号是 ．（写出所有正确命题的序号） ⑴ A． ⑵ ③④． ⑴（2010年昌平二模）给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作．在此基础上给出下列关于函数的四个命题： ① 函数的定义域为，值域为； ② 函数的图象关于直线（）对称； ③ 函数是周期函数，最小正周期为1； ④ 函数在上是增函数． 其中正确的命题的序号是（ ） A．① B．②③ C．①②③ D．①④ C． ⑵ 用表示不超过的最大整数，若函数恰好有三个零点，则实数的取值范围是 ． ．