[第4讲.解析几何解答题应对策略和计算技巧.教师版]-尖子班.doc

解析几何解题步骤与简化运算的技巧列表 题干信息 构图与简化 设参与表达 消参与求解 弄清题意并整理几何构图；不同的构图顺序会带来引入参数的不同，需要精心比较各种方案． 注意：在构图与引入参数的过程中要充分利用几何性质（或挖掘条件）对问题进行简化． 合理的引入参数，准确的用代数方程（或不等式）表达已知条件与未知量，同时要考虑之后消参工作的可行性． 注意：在设参时需要注意参数的数量与质量，不要走极端． 通过代数方程与不等式进行联立（具体方式有代入、加减、化齐次等等），简捷的消去参数，得到只含未知量的代数方程（或不等式），再对该代数方程（或不等式）求解． 一般情况 引入参数表示直线，并以交点坐标为参数，用交点坐标表示各几何量． 用直线方程消去纵坐标（或横坐标），将直线方程代入曲线方程，通过韦达定理消去横坐标（或纵坐标），或直接求解横坐标（或纵坐标）． 过定点的直线 定点在轴上时用斜截式表示； 定点在轴上时用倒斜横截式表示； 定点不在轴上时用参数方程表示． 弦长 若、为的两根时，． 面积 注意利用共线或平行条件进行等积变换； 处理四边形面积时常用相关直线的作法 ×水平宽×铅直高 四边形的面积： 【教师备案】这里给出部分其他简化运算的技巧，教师可以引导学生补充上表． 题干信息 构图与简化 设参与表达 消参与求解 直线与圆锥曲线的位置关系 ① 联立直线与圆锥曲线方程后通过判别式判断； ② 重要结论（判别式的等效） （椭圆） （双曲线） 焦点 两个焦点时联想第一定义； 一个焦点时联想第一定义补另一个焦点或联想第二定义补对应准线． 注意利用极坐标方程． （体系与体系的转换，半通径） 中点 注意取中点构造中位线 中点坐标公式 ， ① 点差法（将二次曲线方程相减，利用斜率公式和中点坐标公式消参） ② 重要结论 （对椭圆） （对双曲线） 定比分点 弦所在直线过焦点时，可补对应准线后构造相似三角形． ① 利用共线向量写出坐标； ② 利用直线的参数方程转化． 处理形如“（）”的方法： ， 从而． 共线、平行、垂直 ① 利用斜率表示； ② 利用向量表示． 以为直径的圆过 以为直径的圆过 垂直平分线 （为中点）在的垂直平分线上，其中为的中点． 关于某直线对称 、关于对称是的垂直平分线 关于原点对称的两点 注意取中点构造中位线 ① 处理斜率之比时可以平方后利用椭圆（双曲线）方程将其转化为韦达定理可解决的形式； ② 重要结论 （对椭圆） （对双曲线） 题干信息 构图与简化 设参与表达 消参与求解 与原点连线相互垂直 利用相关直线的作法设直线斜率 ① 利用直线方程将曲线方程整理为形如二次齐次式后利用韦达定理解决（注意此作法可推广）； ② 重要结论 满足的直线均为圆（）的切线． 与定点的两连线相关 平移坐标系转化为与原点的连线相关问题 利用相关直线的作法设直线斜率 向量的数乘、和、差、数量积 向量数乘共线 向量和差平行四边形法则 （向量相等平行四边形） 向量数量积投影长度 利用向量的坐标运算表达 在求形如的值时，可以将方程整理为形如 的形式． 锐角（直角、钝角） 转化为向量夹角 用向量的坐标形式的数量积表达 过交点的曲线 利用交点曲线系得到曲线方程 ⑴（2012年新课标理）等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于、两点，，则的实轴长为 （　　） A． B． C． D． ⑵（2012年安徽理）过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，点是原点，若，则的面积为（　　） A． B． C． D． ⑶ 已知椭圆：（），、分别为的左右焦点，为椭圆上一点且使，又的面积为．则的离心率为 ． ⑷（2012年江西理）椭圆（）的左、右顶点分别是、，左、右焦点分别是、．若、、成等比数列，则此椭圆的离心率为________． ⑸（2012年湖北理）双曲线（）的两顶点为、，虚轴两端点为、，两焦点为、． 若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为、、、． 则双曲线的离心率________；菱形的面积与矩形的面积的比值________． ⑴ C； ⑵ C； ⑶ ；⑷ ；⑸ ；． 【教师备案】本讲各例题给出的解析中的解法均仅供参考，旨在通过对解析几何解题的三个阶段的划 分使学生对解题过程有清晰的认识，从而使得学生能够熟练掌握解决解析几何问题的通法，继而可以自行总结简化计算的技巧． （2011年四中高二期中）已知椭圆：（）的左焦点为．过点且倾斜角为的直线与椭圆相交所得的弦被分为的两段，求椭圆的离心率． ． （2010年浙江）已知，直线：，椭圆：，、 分别为椭圆的左、右焦点．