(北师大版)必修五：2.1正弦定理-课件.ppt

1.1 正弦定理 问题提出 1、角的关系 2、边的关系 3、边角关系 大角对大边 三角形的边与角之间有什么关系? 问题提出 ∴ sinA= 那么对于非直角三角形，这一关系式是否成立呢？ 在直角三角形ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c， C=900 ,则有: A C B c b a ,sinB= , sinC=1= . 分析理解 O (A) B C c b a x y C’ 如图,以A为原点,以射线AB的方向为x轴正方向建立直角坐标系,C点在y轴上的射影为C’. 正弦定理：在一个三角形中，各边与它所对角的正弦的比相等,即 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角。 例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩,其一角已破损.现测得如下数据:BC=2.57cm,CE=3.57cm,BD=4.38cm, B=45O, C=120O.为了复原,请计算原玉佩两边的长(结果精确到0.01cm)? 分析 如图,将BD,CE分别延长相交于一点A.在△ABC中已知BC的长及角B与C,可以通过正弦定理求AB,AC的长. 解 将BD,CE分别延长相交于一点A.在△ABC中, B C D E A BC=2.57cm, B=45O, C=120O A=180O-(B+C)=15O 利用计算器算得 同理, 答 原玉佩两边的长分别约为7.02cm,3.15cm. 例２：台风中心位于某市正东方向300km处,正以40km/h的速度向西北方向移动,距离台风中心250km范围内将会受其影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到0.1h)? 分析 如图,设该市在点A,台风中心从点B向西北方向移动,AB=300km.在台风中心移动过程中,当该中心到点A的距离不大于250km时,该市受台风影响. A B D C1 C2 N 解 设台风中心从点B向西北方向沿射线BD移动,该市位于点B正西方向300km处的点A. 假设经过t h,台风中心到达点C,则在△ABC中AB=300km,AC=250km,BC=40t km,B=45O,由正弦定理. 知 解得 当 同理,当 答 约2时后将要遭受台风影响,持续约6.6时. 已知两边一对角，三角形解的个数 角A a 解的情况 锐 角 a<bsinA 无解 a=bsinA 一解 bsinA<a<b 两解 a≥b 一解 直角或钝角 a≤b 无解 a>b 一解 正弦定理的推论： A B D C . O b a c =2R (R为△ABC外接圆半径） 证明：如图，圆⊙O为△ABC的外接圆， BD为直径, 则 ∠A=∠D, ∴ =2R (R为△ABC外接圆半径） 例3：如图,在△ABC中, 求证: △ABC的面积 . 证明 O (A) B(x,y) C(u,v) x y (1)正弦定理适应的范围 A)直角三角形 B)锐角三角形C)钝角三角形D)任意三角形 (2)在三角形ABC中如果　　　 ，则∠B的值为 A) 30o B) 45o C) 60o D) 90o (3)在△ABC中，A=60o,C=45o, b=2,则此三角形 　　的最小边长为 _________ ( B ) ( Ｄ ) （4）在任一 中，求证： 证明：由于正弦定理：令 左边＝ 代入左边得： ∴ 等式成立 =右边 （２）正弦定理的证明 （３）正弦定理的应用 （１）正弦定理的内容．