数学证明方法说明.ppt

§4·4 数学证明 一、证明的意义与结构 证明就是根据一些已经确定真实性的命题来断定某一个命题的真实性的思维过程。它是由论题、论据和论证方式三个要素构成。 二、证明方法 在中学数学中常用的证明方法是直接证法、间接证法和数学归纳法。下面介绍这些证明方法。 1．直接证法 （1）综合法 如果证明时的思考顺序是从题设到结论，即从欲证命题的题设p出发，根据已知的定义、公理和定理等，依推理规则逐步推得欲证结论q。这种证明方法称为综合法。 （2）分析法 如果证明时的思考顺序是从结论到题设，即从欲证命题的结论出发，根据已知的定义、公理和定理等，依推理规则，逐步追溯到题设，这种证明方法称为分析法。 例如在证明A→D成立时的推理思考顺序如图（2）。 分析综合法 在证明比较复杂的问题时，往往把综合法与分析法合起来使用，在分析的基础上综合，在综合的指导下分析，再综合。从而找到证题的途径。在证明过程中常采用“两头凑”，即同时从已知和结论出发，逐步分别进行推理和追溯，直到推得的中间结论与追溯的条件相同时为止。这种方法也叫分析综合法。 2．间接证法 当直接证明一个数学命题有困难时，可以使用间接证法。 间接证法就是不直接证明原命题为真，而去证明与之逻辑等价的另一个命题为真，由等价性间接地证明了原命题为真的方法。 我们这里介绍间接证法中的反证法和同一法。 * * 论题就是需要确定其真实性的命题 论据就是用来确立论题真实性所引用的那些已知真实的命题； 论证就是根据论据进行一系列推理而确立论题真实性的过程。 证明 如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么这条直线也和另一条垂直。 已知 AB∥CD，EF⊥AB 求证 EF⊥CD 证明 ∵AB∥CD （已知） ∴∠1=∠2 （两直线平行， 　 E 同位角相等）　　　 A 1 B ∵EF⊥AB （已知） ∴∠1=90°（垂直定义）　 C 2 D ∴∠2=90°（等量代换） 　　 F ∴EF⊥CD （垂直定义） 推理1 ∵两直线平行则同位角相等， AB∥CD，∠1=∠2是同位角 ∴∠1=∠2 推理2 ∵两直线垂直则交角为90° EF⊥AB 且交角为∠1 ∴∠1=90° 推理3 ∵两个相等的量可以代换 ∠1=∠2 且∠1=90° ∴∠2=90° 推理4 ∵两条直线相交成90°则它们互相垂直 EF与CD相交成∠2=90° ∴EF⊥CD 以上推理又可简写成以下形式： AB∥CD　∠2=∠1 EF⊥AB　∠1=90° 　　　　　　∠2=90°EF⊥CD 由上面的推理不难看出，每个推理是由命题排列而成的，而一个证明又是由若干推理有序排列构成，因此，可以把一个数学证明看成是由命题组成的有限的逻辑链，而所谓要证明一个命题，就是要由已知条件及已有的真实命题出发，逐步进行推理，不断得出互相联结的新命题，一直联结推出所证命题的结论为止。 综合法是一种“由因导果”的思考顺序，它由已知出发，逐步推演寻找它的必要条件，直到得出结论为止。用综合法证明命题推理思路自然，表述简明。但在一定条件下，由已知公理、定理等推出的结论较多，从中寻找欲证结论，有时好象大海捞针，容易误入岐途，这是综合法的缺点。 若证命题A→D成立，其思考推理顺序如图（1）： 　 A D ↙↓↘ ↗↑↖ B1 B B2 C1 C C2 ↙ ↙↓↙↘ ↗↗↑↗↖ C1 C2 C C3 C4 B1 B2 B B3 B4 ↓ ↓ ↓ ↓↓ ↑↑ ↑↑↑ D A （1） （2） 分析法是一种“执果索