[理学]线性代数第01章.ppt

线 性 代 数 牛莉 等编著 第1章 行列式 1.1 全排列及其逆序数 1.1.1 排列与逆序 自然数 组成的有序数组称为一个 元排列，记为 ． 元排列共有个．排列 称为自然排列或标准排列，规定其为标准次序． 定义1 在一个 元排列 中，若一个大的数排在一个小的数的前面（即与标准次序不同时），则称这两个数有一个逆序．一个 元排列中所有逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为 ． 若排列的逆序数为奇数（偶数），则称此排列为奇排列（偶排列）． 计算排列逆序数的方法： 设 为 个自然数 的一个排列，考虑元素 ，如果比 大且排在 前面的数有 个，就说这个元素的逆序数是，全体元素的逆序数的总和就是此排列的逆序数，即 例1 求下列排列的逆序数： （1） ； （2） ． 解 此排列为偶排列． （2）同理可得 此排列的奇偶性由 确定． 1.1.2 对换 定义2 将一个排列中的某两个数的位置互换（其余的数不动），就得到了一个新排列，称这样的变换为一次对换，将相邻两个数对换，称为相邻对换． 定理1 对排列进行一次对换，则改变其奇偶性． 由定理1可得下面的推论． 推论1　奇排列调成自然（标准）排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然（标准）排列的对换次数为偶数． 推论2 全体 元排列（ ）的集合中，奇、偶排列各占一半． 1.2 行列式的概念 1.2.1 二、三阶行列式 一、二阶行列式 求解二元一次方程组 　　 (1.2.1) 引入符号 称 为二阶行列式（（1.2.1）的系数行列式），它代 表一个数，简记为 ，其中数 称为行列式 的第 （行标）行、第 （列标）列的元 素． 当 时，求得方程组(1.2.1)的解为 ， 根据二阶行列式的定义，方程组(1.2.1)的解中 的分子也可用二阶行列式表示．若记 其中 表示将 中第 列换成(1.2.1)式 右边的常数项所得到的行列式． 于是，当系数行列式 时，二元一次方程组(1.2.1)有惟一解 二、三阶行列式 求解三元一次方程组 　　　　　　　　　　　　　　　　 (1.2.2) 引入符号 称为三阶行列式（（1.2.2)的系数行列式）． 三阶行列式的对角线法则： 当系数行列式 时，三元一次方程组(1.2.2)有惟一解 　　　　 ， 其中 　　　　 三阶行列式具有以下特点： （1）三阶行列式值的每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，除去符号，每项的三个元素按它们在行列式中的行的顺序排成 　　　　　，其中第一个下标（行标）都按自然顺序排列成　 ，而第二个下标（列标）排列成 ，它是自然数 的某个排列； （2）各项所带的符号只与列标的排列有关： 带正号的三项列标排列： ；带负号的 三项列标排列是： ．由上节知，前三个 排列为偶排列，而后三个排列为奇排列，因此 各项所带符号可以表示为 ，其中 为列标排 列的逆序数； （3）因 共有 个不同的排列，所以对应行列式右端是6项的代数和． 因此，三阶行列式可以写成 　　　　　　 其中 为排列 的逆序数，即 ， 上式表示对 三个数的所有排列