SARS传播模型及其趋势分析(2003D).doc

SARS传播模型及其趋势分析 时培建1 徐多林1 水声建2 （1 北京石油化工学院经济管理系 2 北京石油化工学院通信工程系） 摘要 围绕着SARS传播问题，建立并分析了传统的传染病模型，得出SARS传播的规律。并在此基础上引入了防控因子 ，借以量化政府及卫生部门采取隔离消毒措施对抑制SARS传播的积极效果；同时还采用了模糊数学的方法，就如何确定 值展开了探讨。 关键词 SARS；防控因子；隶属函数 2003年春天，SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome)，严重急性呼吸道综合症)在我国部分地区爆发与蔓延，给当地的人们带来了恐慌，严重影响了正常的经济与社会发展。我国政府与公共卫生部门对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结一心，共抗“非典”，卓有成效，疫情自2003年5月初得到了有效控制。痛定思痛，我们应该就此进行认真的反思，尤其应该分析SARS疫情的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然。 1 模型的建立与求解 1.1 模型假设 （1） 为疫区总人口数； （2）单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康人数成正比的比例系数 ； （3）将大疫区各离散子疫区看成一个疫区，而不考虑子疫区之间的非典传播（如北京是一个大疫区，海淀、朝阳等各区县为子疫区，此时我们将子疫区抽象为一个疫区）。所谓称疫区皆指抽象后的疫区，所谈及的健康者与病人皆指在抽象疫区中的人群。 1.2 传统的传染病传播模型 不考虑有外界和社会的干涉的SARS传播模型，记时刻 的病人数为 ，初始时刻有 个传染病人，则在 时间内增加的病人数为 ,这是一个常规的传染病模型[1] 于是有 (1) ， (2) 式中 —— 健康人群和非健康人群之和，为常数； —— 时间，单位：天； —— 时刻的病人数； —— 时刻的健康人数； —— 传染强度（单位时间内一个病人能传染的人数与当时健康人数成正比的比例系数）； ——当 时刻的病人数。 则有: （3） 令 ，代入方程（3），方程变为 （4） 解此微分方程可得： （5） 1.3 传统的传染病传播模型的求解 用式（5）去拟合北京累计确诊病例[2,3]，可得： r/k=2521，r=0.198，决定系数R2=1-残差平方和/总平方和=0.99942 t/d i(t) 图1 北京累计确诊病例拟合效果图 图1中，离散点为北京2003年4月20日~6月23日累计确诊病例数， 连续的曲线为拟合后的效果图。 利用已得的参数来分析： 1.3.1 推测首例发病日期 令 i(t)=1 即： 解此方程可得t=-30，即首例发病日期大约在3月20日前。 1.3.2 推测发病高峰期 对式（5）求导 （6） 式（6）中 表示日确诊病例增加数 令 ， 得极大值点为 （7） 即发病高峰期在4月底，5月初。 图3即为每日确诊人数增长趋势图 t/人 图2 每日确诊人数增长趋势图 显然这种建模方式仅仅是用已有的传染病模型去拟合函数，并没有考虑到北京等地疫情的实际情况，因为在疫情发展过程中，政府和医疗部门的防控措施所起的效果并非得以体现。 1.4 改进后的传染病传播模型及其求解 现在考虑政府和医疗部门采取隔离与消毒等措施，引进参数 —— 防控因子，它指政府和医疗部门采取隔离与消毒等措施，而使传染强度 减少的比率，即 此时，SARS传播模型改进为： （8） 可得： （9） 当 时，说明政府和医疗部门并未采取任何相关防范措施； 当 时，说明政府和医疗部门防控措施非常严格； 当 ，说明政府和医疗部门的防控措施介于两个极端之间。 1.4.1 在t=0处开始采取防控措施 为了计算方便，这里把资