A2(第八章节第7节).ppt

§7 傅立叶级数 二、函数展开成傅立叶级数 收敛定理 狄利克雷(Dirichlet)充分条件 三、奇函数与偶函数的 F — 级数 四、在 [ ? l, l ] 上定义的非周期函数展 开成傅立叶级数 例1. 将函数 说明: 五、在 [ 0, l ] 上定义的函数展开成 正弦级数与余弦级数 在[ 0, ? ]上的函数展成正弦级数与余弦级数 例1: 将函数 再求余弦级数. 例2. 例3. 设 例4. 写出函数 课 外 作 业 利用此展开式可求出几个特殊的级数的和. 当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得 设 已知 又 例2： 并讨论其在 [?1, 1] 上的收敛情况。 解： 作周期延拓， 0 x f (x) = 1 所求傅立叶级数为： 0 x f (x) 0 x s(x) 方法： 使 f (x) 成为奇函数， 使 f (x) 成为偶函数， 即可展成正弦级数； —— 奇延拓 —— 偶延拓 即可展成余弦级数。 再作周期延拓， 再作周期延拓， 周期延拓 F (x) f (x)在[0, ? ]上展成正弦级数 周期延拓 F (x) 奇延拓 偶延拓 f (x)在[0, ? ]上展成余弦级数 分别展成正 弦级数与余弦级数. 解: 去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓, 先求正弦级数. 注意: 在端点 x = 0, ? , 级数的和为0, 与给定函数 因此得 f (x) = x + 1 的值不同. 将 则有 作偶周期延拓, , 处收敛于 则它的傅立叶级数在 在 处收敛于 . 设周期函数在一个周期内的表达式为 * 幂级数虽然简单，但不能反映某些函数的周期性质。 而实际问题中的周期性的物理现象希望能用反映周期性质的简单函数来表示。 三角函数就是最简单的周期函数。 如描述简谐运动的函数 其中 y 表示动点的位置， t 表示时间， 现在希望把一个非正弦周期函数 f (t) 表示成简单的三角函数组成的级数，即 也即把一个比较复杂的周期运动看成 为多个 (或无数多个) 不同频率的简谐振动 的叠加。 t y 0 2? 4? ? 3? sint 1 –1 0.5 –0.5 1.5 –1.5 例 t y 0 2? 4? ? 3? 1 –1 0.5 –0.5 1.5 –1.5 例 t y 0 2? 4? ? 3? 1 –1 0.5 –0.5 1.5 –1.5 例 t y 0 2? 4? ? 3? 1 –1 0.5 –0.5 1.5 –1.5 例 t y 0 2? 4? ? 3? 1 –1 0.5 –0.5 1.5 –1.5 y 的图形已经与正弦型 函数大不相同，更何况 无穷项的三角级数! 例 定义： 的级数称为三角级数。 一、三角函数系的正交性 易证三角函数系： 任两个不同函数的乘积的积分都为 0； 即有： = 0 , 还可证明： 同理三角函数系： 且能展开成三角级数，即有 则系数 a0 , a1 , b1 , …, an , bn , … = ? 为了计算，假设 (*) 式可逐项积分。 (*) 10 . 求 a0 : = 0， 20. 求 an : = 0 = 0 = 0 30. 求 bn : = 0 = 0 = 0 由此得出的三角级数 称为 f (x) 的傅立叶级数， 其中系数 称为 f (x) 的傅立叶系数。 设 f (x) 是周期为 2 l 的周期函数， 如果它满足： (1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点， (2) 在一个周期内至多只有有限个极值点， ( f (x) 连续或分有限段连续 ) ( f (x) 分有限段单调 ) 则 f (x) 的傅立叶级数收敛，且 当 x 是 f (x) 的连续点时， 级数收敛于 f (x)； 当 x 是 f (x) 的间断点时， 级数收敛于x 处左右极限 的平均值。 即 周期为 2 l 的周期函数 f (x) ， 若在一个周期内连续或分有限段连续， 且分有限段单调，则其傅立叶级数 当 x 是 f (x) 的连续点时 f (x) 当 x 是 f (x) 的间断点时 例1： 它在一个周期内的表达式为 设 f (x) 是周期为 2π 的周期函数， 将 f (x) 展开成 F — 级数, 并作其和函数的图形。 解： f (x) 满足收敛定理条件。 0 x f (x) 1 且 所求傅立叶级数为： 收敛情况如何？ 即能否 = f (x) ? 0 x s(x) 1 0 x f (x) 1 例2： 设 f (x) 是周期为 4 的周期函数， 它在 [?2, 2) 上的表达式为 将 f (x) 展开成 F — 级数，并求其和函数。 解： f (x)