7第七章节数值逼近.ppt

* * 第七章 函数逼近 用简单的函数p(x)近似地代替函数f (x)，是计算数学中最 基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近，函数f (x)称为 被逼近的函数，p (x)称为逼近函数，两者之差 称为逼近的误差或余项。 如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是 函数逼近要解决的问题 函数逼近问题的一般提法： 对于函数类A中给定的函数f (x)，要求在另一类较简单 的且便于计算的函数类B(? A)中寻找一个函数p (x)，使p (x) 与f (x)之差在某种度量意义下最小。 最常用的度量标准： (一) 一致逼近 以函数f (x)和p (x)的最大误差 作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近 对于任意给定的一个小正数? 0，如果存在函数p (x)，使不等式 成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近 于函数f (x)。 (二) 平方逼近： 采用 作为度量误差的“大小”的标准的函数逼近称为平方逼近 或均方逼近。 §1 正交多项式 一、正交函数系的概念 考虑函数系 1，cosx，sinx，cos2x，sin2x，…，connx，sinnx，… 此函数系中任何两个不同函数的乘积在区间[-? ,? ] 上的积分都等于0 ！ 我们称这个函数中任何两个函数在[-? ,? ]上是正交 的，并且称这个函数系为一个正交函数系。 若对以上函数系中的每一个函数再分别乘以适当的数， 使之成为： 那么这个函数系在[-? ,? ]上不仅保持正交的性质， 而且还是标准化的(规范的) 1．权函数 定义7.1 设? (x)定义在有限或无限区间[a, b]上， 如果具有下列性质： (1) ? (x) ≥0，对任意x ?[a, b]， (2) 积分 存在，(n = 0, 1, 2, …)， (3) 对非负的连续函数g (x) 若 则在(a, b)上g (x) ? 0 称? (x)为[a, b]上的权函数 2．内积 定义7.2 设f (x)，g (x) ? C [a, b]，? (x)是[a, b]上的权函数， 则称 为 f (x) 与 g (x)在 [a, b]上以 ? (x)为权函数的内积。 内积的性质： (1) (f, f )≥0，且 (f, f )=0 ? f = 0； (2) (f, g) = (g, f )； (3) (f1 + f2, g ) = (f1, g) + (f2, g)； (4) 对任意实数k，(kf, g) = k (f, g )。 3．正交性 定义7.3 设 f (x)，g(x) ?C [a, b] 若 则称f (x)与g (x)在[a, b]上带权? (x)正交。 定义7.4 设在[a, b]上给定函数系，若满足条件 则称函数系{?k (x)}是[a, b]上带权? (x)的正交函数系， 若定义7.4中的函数系为多项式函数系，则称为以? (x) 为权的在[a, b]上的正交多项式系。并称pn(x)是[a, b]上 带权? (x)的n次正交多项式。 特别地，当Ak ? 1时，则称该函数系为标准正交函数系。 二、常用的正交多项式 1．切比雪夫(чебыщев)多项式 定义7.5 称多项式 为n 次的切比雪夫多项式(第一类)。 切比雪夫多项式的性质： (1) 正交性： 由{ Tn (x)}所组成的序列{ Tn (x)}是在区间[-1, 1]上带权 的正交多项式序列。且 (2) 递推关系 相邻的三个切比雪夫多项式具有三项递推关系式： (3) 奇偶性： 切比雪夫多项式Tn (x)，当n为奇数时为奇函数； n为偶数时为偶函数。 (4) Tn (x)在区间[-1, 1]上有n 个不同的零点 (5) Tn (x) 在[-1, 1]上有n + 1个不同的极值点 使Tn (x)轮流取得最大值 1 和最小值 -1。 (6) 切比雪夫多项式的极值性质 Tn (x) 的最高次项系数为 2n-1 (n = 1, 2, …)。 定理7.1 在-1≤x ≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式Hn (x)中 与零的偏差最小，且其偏差为 即，对于任何 ， 有 2．勒让德(Legendre)多项式 定义7.6 多项式 称为n次勒让德多项式。 勒让德多项式的性质： (1) 正交性 勒让德多项式序列{pn(x)}是在[-1, 1]上带权? (x) = 1 的正交多项式序列。 (2) 递推关系 相邻的三个勒让德多项式