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Copyright by Li Xinliang Copyright by Li Xinliang 线性稳定性理论 一、 稳定性基本概念 流体中的不稳定性 K-H不稳定性 A. K-H (Kelvin-Helmholtz）不稳定性—— 自由剪切流的无粘不稳定性 混合层—— K-H不稳定性 K-H不稳定性的关键： 速度剖面有拐点 已知某运动状态； 在此基础上施加微小扰动； 如扰动随时间（或空间）衰减，则称系统稳定，否则为不稳定 注: 本PPT摘录自力学所李新亮CFD讲义 自然界中 K-H不稳定性图片 智利塞尔扣克岛的卡门涡街 澳大利亚Duval山上空的云 Kelvin–Helmholtz instability clouds in San Francisco 佛兰格尔岛周围的卡门涡街 高速流 低速流 自由剪切层受到扰动界面变形后的情况 K-H不稳定性的产生机理 受阻减速，压力升高，产生高压区 高压导致变形加剧 B. T-S (Tollmien-Schlichting) 不稳定性——不可压 壁面剪切流的粘性不稳定性 C. R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性 —— 重力带来的不稳定性 R-T (Reyleigh-Taylor)不稳定性 重介质 轻介质 D Bernard热对流不稳定性 Barnard 热对流的胞格结构 二、 稳定性问题的常用数学方法—— 线性稳定性分析 Step 1: 得到线性化的扰动方程 控制方程为： 已知其具有解 令： 舍弃高阶小量，得到线性化的扰动方程 （1） 例如： 平板的Blasius解，槽道的Poiseuille 解 线性方程 Step 2: 求解 的特征值问题 什么条件下具有非零解，非零解如何？ 通常假设在某些方向具有周期性，转化为一维问题 数值方法： 将 （1） 离散——代数方程 何时有非零解， 非零解如何？ —— 特征值问题 什么条件下有非零解？ 特征值问题计算量巨大，目前通常只能处理一维问题 三、 稳定性问题示例—— 不可压缩槽道流动的线性稳定性（LST）理论 (以二维为例) Step 1: 获得线性化扰动方程 令： Poiseuille解： (2) 代入方程（2），并舍去高阶小量得到线性化的扰动方程 （3） 1） 控制方程及边界条件 研究扰动发展的空间模式和时间模式 扰动源 空间模式： 任一点的扰动具有时间周期性—— 符合物理条件 假设扰动具有如下形式： 沿流向及时间方向具有波动特性 称为Tolmien-Schlichting（T-S）波 任意扰动可分解为正弦波的叠加—— 线性系统各成分无相互作用—— 可独立研究 为实数 为复数 扰动波的振幅沿流向指数变化 空间增长率 时间模式： 扰动具有流向的周期性 假设一窗口沿流向运动，研究窗口内扰动的演化 为实数 为复数 扰动波的振幅虽时间变化 时间增长率 以时间模式为例： （4） （5） （6） 线性偏微方程（3）转化成为含参数的线性常微方程组（4）-（6） 谱方法的常规做法 通过消元法，转化为更高阶的常微方程 （不是必须的） 常用做法，通常还可以反向为之： 高阶方程转化为低阶方程组 消去 Orr-Sommerfeld（O-S) 方程 其中： 最终，控制方程为O-S方程： 边界条件： y=?1 （固壁）: y=0 （中心线，对称）： 可以取计算域[-1,1],使用固壁边界条件； 也可以取计算域[-1,0],使用固壁及对称边界条件 流函数形式的O-S方程 引入流函数，使得： 计算出 后，利用公式 计算其他两个量 则： 令： 常数倍 满足的方程及边界条件与 完全相同。 如果 恒大于（或恒小于0），则必有 小知识： 关于O-S方程 1） O-S方程适用于不可压平行流的稳定性问题 （不仅槽道流） 2） 准平行流 （流线沿x方向接近平行）也可使用（例如边界层流动） 3）如果舍去粘性（左端）项，则方程称为Rayleigh方程 Rayleigh拐点定理： Rayleigh方程存在不稳定解的必要条件是速度型存在拐点。即存在某点 使得 若存在无粘不稳定性，该项必有0点。 分部积分，并取虚部，得： 不存在非稳定解 2） O-S方程的解法 数学表述—— 奇性（特征值）问题： 参数 为何值时，方程有非零解？ 非零解如何？ 时间发展槽道湍流： (通常) 给定Re及a，问 w取何值时，O-S方程有非零解？ 增长率 求解步骤： 1） 将O-S方程离散，得到线性代数方程组 离散方法： 差分法、有限元