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第1讲　合情推理与演绎推理 [最新考纲] 1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用． 2．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 知 识 梳 理 1．合情推理 (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的 对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出 的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到 、由个别到 的推理． (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到 的推理． (3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理． 2．演绎推理 (1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到 的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 辨 析 感 悟 1．对合情推理的认识 (1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确． (×) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理． (√) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适． (×) (4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)． (×) (5)(2014·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8. (√) 2．对演绎推理的认识 (6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的． (√) (7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确． (×) [感悟·提升] 三点提醒　一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的． 二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)． 三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7)． 考点一　归纳推理 答案　1 000 规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法． 【训练1】 (1)(2014·佛山质检)观察下列不等式： 则第5个不等式为________． (2)(2013·陕西卷)观察下列等式 (1＋1)＝2×1 (2＋1)(2＋2)＝22×1×3 (3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …… 照此规律，第n个等式可为________． 解析　(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×5×…×(2n－1)． 考点二　类比推理 规律方法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等． 解析　由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V＝W′＝(2πr4)′＝8πr3. 答案　8πr3 考点三　演绎推理 规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略． A．大前提错误导致结论错误 B．小前提错误导致结论错误 C