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第二节 向量的数量积与向量积 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、小结 一、向量的数量积 二、向量的向量积 三、小结 * * 启示 实例 两向量作这样的运算, 结果是一个数量. 定义 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积. 关于数量积的说明： 证 证 数量积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）若 为数： 若 、 为数： 设 数量积的坐标表达式 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 解 证 实例 定义 关于向量积的说明： // 向量积也称为“叉积”、“外积”. 向量积符合下列运算规律： （1） （2）分配律： （3）若 为数： 证 // // 设 向量积的坐标表达式 向量积还可用三阶行列式表示 // 由上式可推出 补充 例如， 解 解 三角形ABC的面积为 一物体在常力作用下沿直线从点移动到点，以表示位移，则力所作的功为 (其中为与的夹角) 向量与的数量积为 (其中为与的夹角) 例1 已知，，求（1）；（2）与的夹角；（3）在上的投影. 例2 证明向量与向量垂直. 设为一根杠杆的支点，有一力作用于这杠杆上点处．力与的夹角为，力对支点的力矩是一向量，它的模 的方向垂直于与所决定的平面, 指向符合右手系. 向量与的向量积为 (其中为与的夹角) 的方向既垂直于，又垂直于，指向符合右手系. 例3 求与，都垂直的单位向量. 例4 在顶点为、和的三角形中，求边上的高. 例5 设向量两两垂直，符合右手规则，且，，，计算. 已知向量，， 证明. 表示以和为邻边 的平行四边形的面积. 、、不能同时为零，但允许两个为零， 依题意知与同向，