09矩阵的秩及线性方程组的解.ppt

矩阵的秩及线性方程组的解 矩阵的秩 初等变换与矩阵的秩 线性方程组的解 * * * * 1.矩阵的k阶子式 设A是一个m行、n列的矩阵；k是个不超过m和n的自然数。在矩阵A中任意选取k行、k列，位于这些行列交叉处的k2个元素，依照它们在A中的排列次序构成一个k阶行列式，称该行列式为矩阵A的一个k阶子式。 表示由矩阵A的位于第r1, r2, …,rk行、第c1, c2，…ck列交叉处元素所构成的k阶子式。 2. 矩阵的秩 设A是一个m行、n列的矩阵，若该矩阵有一个r阶子式D不为零，而所有的r+1阶子式（如果存在的话）全为零，则称D是矩阵A的最高阶非零子式；且称矩阵A的秩是r；记为R(A)= r ,R(A) = 3 R(B) = 2 定理1：若矩阵A和B等价，则必然有R(A) =R(B) 首先证明：若B是A经过一次初等行变换之后所得到的，那么R(B) ?R(A) 设A的秩是r，A的最高阶非零子式为 : 1.如果我们对A进行了第一类初等行变换ri ?rj 1) 当i和 j都不在第n1, n2, … ,nr行范围内时 2) 当i和j都在第n1, n2, … ,nr行的范围内的时 3) 当i和j有一个在第n1, n2, … ,nr行的范围内，而有一个在范围之外的时.无妨说i = n1, j不在第n1, n2, … ,nr行的范围内，那么 3. 对A进行了一次第三类初等行变换rj + kri 1) 当i和 j都在或者都不在第n1, n2, … ,nr行范围内时 = 2) 当i和j有一个在第n1, n2, … ,nr行的范围内，而另一个在该范围之外;无妨说j = n1, i不在第n1, n2, … ,nr行的范围内时 2. 对A进行了一次第二类初等行变换?ri，无论i是否在第n1, n2, … ,nr行的范围内，D仍然是B的一个非零的r阶子式. 若 则 ,而 综上所述，若矩阵B是由A经一次初等行变换得来的，那么有R(B)≥R(A)。 而初等变换是可逆变换，并且初等行变换的逆变换仍然是初等行变换；A又可以由B经过一次初等行变换得来，故有R(A)≥R(B)。 综合两方面得：R(B)=R(A) 证毕 类似，若矩阵B是由A经过一次初等列变换得到的，那么必然有R(B)=R(A)。 二. 线性方程组的解 例1. 求解齐次线性方程组 解: 令: 原方程组的通解是： 则: 定理2 n 阶线性齐次方程组 有非零解的充分必要条件是系数矩阵A的秩R(A) < n 例2. 利用初等行变换计算方程组 的系数矩阵和增广矩阵的秩，并说明该方程组是否有解？ 解: 例3. 求解非齐次线性方程组 解: * *