初中数学竞赛专题选讲三点共线.docVIP

初中数学竞赛专题选讲 三点共线 一、内容提要 要证明A，B，C三点在同一直线上， A。　B。　　C。　　　　　　　　　　　 常用方法有：①连结AB，BC证明∠ABC是平角 　　　　②连结AB，AC证明AB，AC重合 　　　　③连结AB，BC，AC证明　AB＋BC＝AC 　　　　④连结并延长AB证明延长线经过点C　 证明三点共线常用的定理有： 过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 三角形中位线平行于第三边并且等于第三边的一半 梯形中位线平行于两底并且等于两底和的一半 两圆相切，切点在连心线上 轴对称图形中，若对应线段（或延长线）相交，则交点在对称轴上 二、例题 例1.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，点P是形内的任一点，PM⊥AB， PN⊥CD 求证：M，N，P三点在同一直线上 证明：过点P作EF∥AB， ∵AB∥CD，∴EF∥CD ∠1＋∠2＝180，∠3＋∠4＝180　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵PM⊥AB，PN⊥CD　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴∠1＝90，∠3＝90　　　∴∠1＋∠3＝180　　　　　　　　　　　　　 ∴　M，N，P三点在同一直线上 例2.求证：平行四边形一组对边的中点和两条对角线的交点，三点在同一直线上　 已知：平行四边形ABCD中，M，N分别是AD和BC的中点，O是AC和BD的交点 求证：M，O，N三点在同一直线上 证明一：连结MO，NO ∵MO，NO分别是△DAB和△CAB的中位线 ∴MO∥AB，NO∥AB 根据过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行 ∴　M，O，N三点在同一直线上 证明二：连结MO并延长交BC于N，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵MO是△DAB的中位线　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴MO∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在△CAB中　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵AO＝OC，ON，∥AB　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴BN，＝N，C，即N，是BC的中点　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵N也是BC的中点，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴点N，和点N重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴　M，O，N三点在同一直线上　　 例3.已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＋∠B＝90，M，N分别是AB和CD的中点，BC，AD的延长线相交于P 求证：M，N，P三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 证明：∵∠A＋∠B＝90，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∠APB＝Rt∠　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 连结PM，PN　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 根据直角三角形斜边中线性质　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 PM＝MA＝MB，PN＝DN＝DC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴∠MPB＝∠B，∠NPC＝∠B　　　　　　　　　　　 ∴PM和PN重合　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　∴M，N，P三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例4.在平面直角坐标系中，点A关于横轴的对称点为B，关于纵轴的对称点是C，求证B和C是关于原点O的对称点　　 Y　　　　　　　　　　　　　　　　　　 解：连结OA，OB，OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵A，B关于X轴对称，　　　　　　　　C　　　　　　　A　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴OA＝OB，∠AOX＝∠BOX　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 同理OC＝OA，∠AOY＝∠COY　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴∠COY＋∠BOX＝90　　　　　　　　　　　O　　　　　　　　X　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴B，O，C　三点在同一直线上　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∵OB＝OC　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ∴　B和C是关于原点O的对称点　　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 例5.已知：⊙O1和⊙O2相交于A，B两点，过点B的直线EF分别交⊙O1和⊙O2于E，F。 求证：AE