量子力学中微扰理论的简单论述本科毕业论文设计书.docVIP

量子力学中微扰理论的简单论述 摘要：在量子力学中，由于体系的哈密顿函数算符往往比较复杂，薛定谔方程能够严格求解的情况寥寥可数。因此，引入各种近似方法以求解薛定谔方程的问题就什么重要。常用的近似方法有微扰法、变分法、半经典近似和绝热近似等，不同的近似方法有不同的实用范围，在下文中将讨论分立谱的微扰理论。对于体系的不含时的哈密顿函数的分立谱的的微扰理论可以分为非简并定态微扰理论和简并定态微扰理论。 关键词：近似方法；非简并定态微扰理论；简并定态微扰理论  目 录 1 非简并定态微扰论 1 1.1 理论简述 1 1.2 一级微扰 3 1.3 二级修正 5 1.4 非简并定态微扰的讨论 6 1.5 海曼—费曼定理 7 2 简并定态微扰论 8 2.1理论简述： 8 2.2简并定态微扰论的讨论 10 3 结束语 11 致谢 11 参考文献 12 0 引言 微扰理论是量子力学的重要的理论。对于中等复杂度的哈密顿量，很难找到其薛定谔方程的精确解。我们所知道的就只有几个量子模型有精确解，像氢原子、量子谐振子、与箱归一化粒子。这些量子模型都太过理想化，无法适当地描述大多数的量子系统。应用微扰理论，可以将这些理想的量子模型的精确解，用来生成一系列更复杂的量子系统的解答。 量子力学的微扰理论引用一些数学的微扰理论的近似方法当遇到比较复杂的量子系统时，这些方法试着将复杂的量子系统简单化或理想化，变成为有精确解的量子系统，再应用理想化的量子系统的精确解，来解析复杂的量子系统。基本的是，从一个简单的量子系统开始，这简单的系统必须有精确解，在这简单系统的哈密顿量里，加上一个很弱的微扰，变成了较复杂系统的哈密顿量。假若这微扰不是很大，复杂系统的许多物理性质（例如，能级，量子态）可以表达为简单系统的物理性质加上一些修正。这样，从研究比较简单的量子系统所得到的知识，可以进而研究比较复杂的量子系统。微扰理论可以分为两类，不含时微扰理论与含时微扰理论。不含时微扰理论的微扰哈密顿量不含时间；而含时微扰理论的微扰哈密顿量含时间不显含，定态的薛定谔方程 满足下述条件： （1）可分解为和两部分厄米，而且远小于： 上式表示，与的差别很小，可视为加与上的微扰。由于不显含，因此，无论或是均不显含。 （2）的本征值和已经求出，即在的本征方程 中，能级及波函数都是已知的。微扰论的任务就是从的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰后，的本征值和本征函数。 （3）的能级无简并，严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并。例如，要通过微扰论计算对的第个能级的修正，就要求无简并，它相应的波函数只有一个。其他能级既可以是简并的，也可以不是简并的。[2] （4）的能级组成分立谱，或者严格点说，至少必须要求通过微扰来计算它的修正的那个能级处于分立谱内，是束缚态。 在满足上述条件下，可利用定态非简并微扰论从已知的的本征值和本征函数近似求出的本征值和本征函数。为表征微扰的近似程度，通常可引进一个小的参数，将写成，将的微小程度通过反映出来。体系经微扰后的薛定谔方程是： 将能级和波函数按展开： ，，…，，…分别表示能级和波函数的一级，二级…修正。 将上两式代入薛定谔方程中得： 然后比较上式两端的的同次幂，可得出各级近似下的方程式： ： ： = ： …… 零级近似显然是无微扰时的定态薛定谔方程式，同样还可以列出准确到，……等各级的近似方程式。[3] 1.2 一级微扰 求一级微扰修正只需要求解=。 由于厄米，的本征函数系系展开 将此式代入的近似薛定谔方程中的 为求出展开系数，以左乘上式并对全空间积分，利用系的正交归一性后，得 当时，得 当时，得 那么接下来计算，利用的归一条件，在准确到数量级后， 又因波函数归一，得： 将代入上式得 必为纯虚数，即 为实数。准确到的一级近似，微扰后体系的波函数是 上式表明，的贡献无非是使波函数增加了一个无关紧要的常数相位因子，那么，不失普遍性，可取 因此，准确到一级近似，体系的能级和波函数是 上式表明，准确到一级近似，在无微扰能量表象中的对角元给出能量的一级修正，非对角元给出波函数的一级修正。[4] 1.3 二级修正 求二级修正需要求解= 与求一级修正的步骤相似，将二级修正波函数按展开 将此式代入上式得: 以左乘上式，并对全空间进行积分后得： 当时，得，考虑到0，由上式得： 当时，由上式得： 、 至于，同样可以由波函数的归一条件算出，由 得 或 同样，若取为实数，那么由上式得： 综合上述，准确到二级近似吗，体系的能级和波函数是：