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全国2011年7月高等教育自学考试 线性代数试题 课程代码：02198 说明：本卷中，AT表示方阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A=，则|A|=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 2.设A为3阶方阵，且|A|=4，则|-2A|=( ) A.-32 B.-8 C.8 D.32 3.设A，B为n阶方阵，且AT=-A，BT=B，则下列命题正确的是( ) A.(A+B)T=A+B B.ABT=-AB C.A2是对称矩阵 D.B2+A是对称阵 4.设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是( ) A.若A2=0，则A=0 B.(AB)2=A2B2 C.若AX=AY，则X=Y D.若A+X=B，则X=B-A 5.设矩阵A=，则秩(A)=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.若方程组 仅有零解，则k=( ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 7.实数向量空间V={（x1，x2，x3）|x1+x3=0}的维数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.若方程组有无穷多解，则λ=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 9.设A=，则下列矩阵中与A相似的是( ) A. B. C. D. 10.设实二次型f (x1，x2，x3)=，则f ( ) A.正定 B.不定 C.负定 D.半正定 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。填错、不填均无分。 11.四阶行列式中，项a31a22a43a14的符号是____________. 12.设三阶矩阵A=［α1,α2,α3］，其中αi(i=1，2，3)为A的列向量，且|A|=2，则|［α1+α2，α2，α1+α2-α3］|=________. 13.设A=，且秩(A)=3，则a，b，c应满足________. 14.矩阵Q=的逆阵是________. 15.三元齐次方程x1-x2+x3=0的结构解是________. 16.已知A相似于A=，则|A-E|=________. 17.矩阵A=的特征值是________. 18.与矩阵A=相似的对角矩阵是________. 19.设A相似于=，则A4________. 20.二次型f (x1，x2，x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是____________. 三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分） 21.计算4阶行列式D=. 22.设A=，B=,求4A2-B2-2BA+2AB. 23.计算向量组的秩，并求出该向量组的一个最大无关组，同时将其余的向量表示成该最大无关组的线性组合. 24.非齐次方程组 a为何值时，有无穷解，并求其结构解. 25.已知l，l，-l是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量，1=(1，1，1)T，2=(2，2，1)T是A的对应于的特征向量，求A的属于的特征向量. 26.求正交变换Y=PX，化二次型f (x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形. 四、证明题（本大题共l小题，6分） 27.设是可逆阵A的特征值，证是A-1的特征值. ═══════════════════════════════════════════════════════════════════════════════