【KS5U推荐】千题百炼——高考数学100个热点问题（一）：第4炼 函数值域的求法 Word版含解析.docVIP

第4炼 求函数的值域 作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决。 一、基础知识： 1、求值域的步骤： （1）确定函数的定义域 （2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤） （3）计算出函数的值域 2、求值域的常用工具：尽管在有些时候，求值域就像神仙施法念口诀一样，一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌握一些常用的思路与工具。 （1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若为单调函数则在边界处取得最值临界值的解析式中可将关于的表达式视为一个整体通过换元可将函数解析式化归为可求值域的形式在连续且可求出的最大最小值则的值域为 连续的前提下才可用最值来解得值域）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域 （2）二次函数（）：二次函数的图像为抛物线通常可进行配方确定函数的对称轴然后利用图像进行求解 解： 对称轴为 （3）反比例函数： （1）图像关于原点中心对称 （2）当 当 ① 解析式特点：的系数为 注：因为此类函数的值域与相关求的值时的系数为再去确定的值，并不能直接确定而是先要变形为再求得 ③ 极值点坐标： ④ 定义域： ⑤ 自然定义域下的值域： （5）函数： 注意与对勾函数进行对比 ① 解析式特点：的系数为 ② 函数的零点： ③ 值域： （5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况可根据图像求得值域在自然定义域下的值域为 （6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况可根据图像求得值域在自然定义域下的值域为 （7）分式函数：分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附） 二、典型例题：将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现 1、换元法：将函数解析式中关于的部分表达式视为一个整体并用新元代替将解析式化归为熟悉的函数进而解出值域的某个表达式有关那么自然将这个表达式视为研究对象：此类问题通常以指对三角作为主要结构在求值域时可先确定的范围再求出函数的范围：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项所以可利用换元将解析式转为的形式然后求值域即可当然要注意有些解析式中的项不是直接给出而是可作转化例如可转化为从而可确定研究对象为 的值域是（ ） A. B. C. D. 思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即可。 解：的定义域为 ，则 的值域为的值域为 B. C. D. （2）函数的值域为的值域为的形式所以可将指数进行换元从而转化为指数函数值域问题令则所以可得 ，将视为一个整体，则可将其转化为二次函数求得值域 令 的值域为 的形式所以求得的范围再取对数即可对进行变形可得，从而将视为一个整体即可转为反比例函数从而求得范围 令 答案：（1）B （2） （3） 例3：已知函数，则的值域为 B. C. D. 思路：依题意可知，所以可将视为一个整体换元从而将问题转化为求二次函数值域但本题要注意的是的定义域由已知的定义域为则的定义域为，解得，而不是 解： 的定义域为且，解得 令，则 ，即的值域为的 函数的图像，从而利用图像求得函数的值域 （3）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式 例4：（1）设函数定义域为对给定正数定义函数为的，则的值域为 B. C. D. （2）定义为中的最小值设则的最大值是为分界线图像在下方的图像不变在上方的图像则变为通过作图即可得到的值域为的定义将转为分段函数则需要对三个式子两两比较比较繁琐故考虑进行数形结合将三个解析式的图像作在同一坐标系下则为三段函数图像中靠下的部分从而通过数形结合可得的最值点为与在第一象限的交点即所以 例5：已知函数，设其中表示中的较大值表示中的较值的值域为的值域为则思路由的定义可想到其特点即若将的图像作在同一坐标系中那么为图像中位于上方的部分而为图像中位于下方的部分配方可得，其中故的顶点