清华大学 08导数与微分的基本概念.ppt

4.5 微分 思考如下问题: 对于函数 当自变量在 x0 处有一 微小增量Δx时, 能否找到Δx的某个线性函数 其中a是不依赖Δx的常数, 来近似函数值的变化 定义4.5.1 设函数 在点 的某邻域内有定义, Δx是 自变量在 x0 处的增量, 常数 a 称为微分系数(differential coefficient). 使得 则称 在点 可微(differentiable). 称为 在点 x0 的微分 (differential), 若存在一个与Δx无关的常数a, (**) 记作 定理4.5.1 函数 在点 可微的充分必要条件 证明 假设 在点 可微, 其中a 是 在点 的微分系数, 令 有, 必要性. 充分性. 假设 在点 可导, 由极限的性质知 即 这就说明 并且 式有 由(**) 则 在点 x0 可导. 是 在点 x0 可微, 注1 此定理说明对于一元函数可微与可导是等价的. 注2 在点 微分的几何意义: x0 为 在点 的 注3 若f (x)在某点可微, 则在该 点一定连续. 例4.5.1 利用微分求 的近似值. 解 切线上的增量. 取 由微分与增量的关系可得: 用MATLAB计算的更精确结果: 并且微分系数等于 反之不然! 例4.5.2 当Δx分别为1,0.1和0.01时, 分别求函数 在点 x=1 的Δy 和 dy. x3 x2 x 0.01 0.1 1 Δx Δy/dy f (x) 1/1 0.1/0.1 0.01/0.01 3/2 0.21/0.2 0.0201/0.02 7/3 0.331/0.3 0.030301/0.03 轻松一下！ 千万别打瞌睡呦！ 定理4.5.2 (四则运算的微分) 设 是可微函数, (1) (2) (3) 若 证明 下面仅证明(2)和(3). (2) (3) 定理4.5.3 (复合函数的微分) 设 均可微, 证明 根据微分的定义及复合函数求导法则 (*) 复合函数的微分公式与将 u 看作自 变量时微分公式在形式上一样, 称复合函数微分公式 的此性质为微分形式不变性. 例4.5.3 设 求 解 则 观察(*)可以看出, 例4.5.4 设 求 解 基本微分公式表 宇宙好比是展现在我们面前的一部大书，这部书是用数学语言写成的。 —— Galileo 作 业 P143 1(6)(8)2(1)(4)3,4 5(7)(9) P150 3(6)(8)4(2)(3)7 P151 2,5,6,7,8 Bye! 第4章 导数与微分 4.1. 导数的概念 在时刻 t 所处的位置为x(t). (变速运动的瞬时速度) 质点沿 x 轴作直线运动, 求质点在任一时刻 t 的瞬时速度. 解 质点在这段时间中的平均速度等于: 引例1 平均速度如果存在极限： 那么瞬时速度就等于平均速度的极限. 引例 2 解 如果平均密度存在极限， 4.1.1 导数 定义4.1.1 设函数 在点 的某邻域内有定义， 若极限 存在， 则称 在点 可导，此极限称为 在点 的导数(derivative), 注1 极限(*)一种等价的形式 注2 若 (*) 则极限(*)不存在. 这说明若f (x)在某点可导, 在该点一定连续. 反之不然! 例4.1.1 在x=0连续， 极限 不存在， 所以 f (x) 在x=0不可导. 注3 在点 导数的几何意义: x0 即为 在点 处切线的斜率. 在点 的法线斜率： 例4.1.2 求函数 在 的切线和法线方程. 解 切线方程: 即 法线方程: 即 单侧导数的定义 称此极限为 在点 的右导数(right-hand derivative), 设 I 是一个开区间. 则称 在 I 内可导. 此时 也是定义在I上的函数, 称为f (x)的导函数(derived function). 若 在I上也连续, 若 在(a, b)可导， 在闭区间[a, b]可导. (1) 若 存在, 称此极限为 在点 的左导数(left-hand derivative), (2) 若 存在, 在 I 中的每个点都有导数, 若 则记作 则称 记作 记作 都存在， 且 命题 在点 的导数 存在当且仅当 都存在且相等. 此定理根据函数极限的性质