平面向量-完全复习-和经典例题.docVIP

精锐教育学科教师辅导讲义 学员编号： 年 级：高 一 课 时 数：3课时 学员姓名： 辅导科目：数 学 学科教师： 授课 类型 C （专题方法主题）------平面向量 授课日期时段 2014年5月11日 教学内容 【知识梳理】 一、平面向量的概念 向量的概念：我们把具有大小和方向的量称为向量． 向量的表示： 几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度． 字母表示法：，注意起点在前，终点在后． 相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量． 向量共线或平行：通过有向线段的直线，叫做向量的基线． 如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量平行于向量，记作． 说明：共线向量的方向相同或相反，　 注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同． 零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：． 零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行． 单位向量：给定一个非零向量，与同方向且长度等于的向量，叫做向量的单位向量． 如果的单位向量记作，由数乘向量的定义可知或． 用向量表示点的位置：任给一定点和向量，过点作有向线段，则点相对于点位置被向量所唯一确定，这时向量又常叫做点相对于点的位置向量． 二、向量的线性运算 向量的加法： （1）向量加法的三角形法则： 已知向量，在平面上任取一点，作，，再作向量，则向量叫做和 的和（或和向量），记作，即． （2）向量求和的平行四边形法则： 已知两个不共线的向量，，作，，则，，三点不共线，以， 为邻边作平行四边形，则对角线上的向量，这个法则叫做向量求和的平行四边 形法则． 向量的运算性质： 向量加法的交换律： 向量加法的结合律： 关于： （）向量求和的多边形法则： 已知个向量，依次把这个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第个向量的终点为终点的向量叫做这个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 向量的减法： （1）相反向量：与向量方向相反且等长的向量叫做的相反向量，记作． 零向量的相反向量仍是零向量． （2）差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量． 推论：一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”． （3）一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量 向量的数乘 数乘向量：实数和向量的乘积是一个向量，记作，且的长 向量共线的条件： 如果，则；反之，如果，且，则一定存在唯一的一个实数，使． 、平面向量的基本定理 （1）平面向量基本定理：如果和是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量，存在唯一的一对实数，，使． （2）基底：我们把不共线向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作．叫做向量关于基底的分解式． 注：定理中，是两个不共线向量； 是平面内的任一向量，且实数对，是惟一的； 平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底． （3）证明，，三点共线或点在线上的方法： 已知、是直线上的任意两点，是外一点，则对直线上任意一点，存在实数，使关于基底的分解式为 ……，并且满足式的点一定在上． 证明：设点在直线上，则由平行向量定理知，存在实数 ，使， 设点满足等式，则，即在上． 其中式可称为直线的向量参数方程式 （）向量的中点的向量表达式：点是的中点，则． 可推广到中，若为边中点，则有存在． 、向量的正交分解与向量的直角坐标运算： （1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量，互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解． （2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点的位置被点的位置向量所唯一确定．设点的坐标为，由平面向量基本定理，有，即点的位置向量的坐标，也就是点的坐标；反之，点的坐标也是点相对于坐标原点的位置向量的坐标． （3）向量的直角坐标运算： 设，，则 ；； 注： 两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差； 数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积． （4）若，，则向量；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标． （5）用平面向量坐标表示向量共线条件： 设，，则就是两个向量平行的条件． 若向量不平行于坐标轴，即，，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．、 两个向量的夹角：已知两个非零向量，，作，，则称作向量和向量 的夹角，记作， 并规定，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有． 当时，我们说向量和向量互相垂直，记作． 向量的数量积（内积）定义 叫做向量和的数