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最优化方法部分课后习题解答
习题一
1.一直优化问题的数学模型为:
min f(x) = (x −3)2 +(x −4)2
1 2
⎧ 5
g(x) = x − x − ≥ 0
⎪ 1 1 2 2
⎪
⎪
s.t. g (x) = −x − x +5 ≥ 0
⎨ 2 1 2
⎪g (x) = x ≥ 0
⎪ 3 1
⎪g (x) = x ≥ 0
⎩ 4 2
试用图解法求出:
(1) 无约束最优点,并求出最优值。
(2) 约束最优点,并求出其最优值。
(3) 如果加一个等式约束h(x) = x −x = 0 ,其约束最优解是什么?
1 2
*
解:(1)在无约束条件下,f(x) 的可行域在整个x0x 平面上,不难看出,当x =(3,4)
1 2
* *
时,f(x) 取最小值,即,最优点为x =(3,4):且最优值为: f(x ) =0
(2)在约束条件下, f(x) 的可行域为图中阴影部分所示,此时,求该问题的最优点就是
在约束集合即可行域中找一点(x, x ) ,使其落在半径最小的同心圆上,显然,从图示中可
1 2
* 15 5
以看出,当x = ( , ) 时,f(x) 所在的圆的半径最小。
4 4
⎧ 15
⎧ 5 x =
g(x) = x − x − = 0 ⎪ 1
⎪ 1 1 2 ⎪ 4
其中:点为g(x) 和g (x) 的交点,令 ⎨ 2 求解得到:⎨
1 2
⎪g (x) = −x − x +5 = 0 ⎪x = 5
⎩ 2
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